命題（まず、証明したい命題を仮定から正確に書いてくれますか？）
$v^i_n \to x$ のとき，$h(v^i_n) \to h(x)$

証明

主張 $|h(v^i_n)-x|\to |h(x)-x|$

主張の証明
$v^i_n$の像$f(v^i_n)$の点$h(x)_n$について
$|v^i_n-h(v^i_n)|<|v^i_n-h(x)_n|\leq|v^i_n-x|+|x-h(x)|+|h(x)-h(x)_n|$
また三角不等式より$||x-h(v^i_n)|-|x-v^i_n||\leq|v^i_n-h(v^i_n)|$
ここで$v^i_n\to x$であることとハウスドルフ距離で収束より$|h(x)-h(x)_n|<ε$であることから
以上から
$|x-h(v^i_n)|-|x-v^i_n|<|v^i_n-x|+|x-h(x)|+|h(x)-h(x)_n|$
$||x-h(v^i_n)|-|x-h(x)||<3ε$
証明終わり$\Box$

$h(v^i_n)$に
中点定理より