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title: 行星齒輪減速機設計流程
tags: [底盤組]

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# 行星齒輪減速機設計流程
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## 定義問題
本次設計目的為設計一四輪驅動小型賽車用的減速機，該賽車具有以下特徵
* 最高時速為$100-150 km/h$
* 最高加速度約為$0.8-2 g$
* 平均時速為$30-50 km/h$
* 車重約$300 kg$
* 重心高度約$220-280mm$
* 馬達最高扭矩為$21 n.m$
* 馬達大概會在$13000RPM$時進弱磁(扭力降低)
* 整個賽季順利的話總里程會在$1500km$左右
* 四輪驅動
* 使用13吋輪圈
* 使用輪邊馬達

結合上述特徵可得出，該減速機必須:
* 裝設於輪圈內，體積受輪圈大小影響
* 能夠將扭矩放大至能夠產生$0.8-2 g$的加速度
* 讓馬達在即將達到時速$100-150 km/h$時才進入弱磁控制
* 能夠使用$1500km$以上

## 參數設計

在減速機設計時，有幾個大目標必須考慮
* 體積
* 減速比
* 壽命
* 重量
* 效率
* 維護性

結合目標與第一章的要求即可得出減速機的具體參數如何定義
### 體積
體積部分是由輪圈直徑與a臂影響，目前初估不含外殼厚度在50mm以下，直徑在120mm以下，根據是:
* 厚度是經驗與目測，詳細尺寸須等碟盤與卡鉗確定方案後才可以定案
* 直徑部分是略大於馬達，如果過大會導致馬達安裝困難
詳細數值須待輪內空間layout確定後才能定案，不過應該不會超過50x $\phi$ 120

### 減速比
謹慎的作法是先用基礎算法算出大概的值，再用完整的lapsim驗證，嘗試不同減速比在不同賽道下的表現，由於時間緣故，先只以基礎算法進行

減速比主要影響點是扭力與極速
#### 扭力
必須能將原本馬達扭力放大至車輛到達目標加速度所需扭力，後者計算可以使用簡單的靜力平衡計算出來，如下圖(後續會做簡單推導，advance vehicle dynamics第89頁有完整推導)
![image](https://hackmd.io/_uploads/r16HDmDp0.png)
<center>圖一:車輛加速自由體圖</center>

其中
$F_{cogl}$ : 加速度所產生的力，會等於$m×a$，是類似離心力的假想力
$F_{cogv}$ : 車身重量，會等於$m$
$F_{fl}$ : 前軸產生向前的力
$F_{fv}$ : 前軸對地正向負載
$F_{rl}$ : 後軸產生向前的力
$F_{rv}$ : 後軸對地正向負載

車輛本身的參數有:
$m$=    車身重量    =$300 kgf=2943 N$
$h_{cog}$=重心高度=$0.28 m$
$l$=    軸距        =$1.55 m$
$l_{f}$=重心到前軸的距離=$0.775 m$
$l_{r}$=重心到後軸的距離=$0.775 m$
$R_{w}$=車輪半徑=$0.259 m$(應使用負載半徑，但負載半徑會隨正向力變化，此處先用自由半徑簡化)
$a$=車輛所需加速度=$1.5 g$=$14.72 m/s$

$F_{cogl}$與$F_{cogv}$都是作用在重心上


**請注意，下列計算皆未考慮輪胎非線性表現與空氣阻力等阻力與下壓力影響**

直接使用重量轉移公式即可獲得車輪正向負載
$$\Delta m =\frac {m\cdot a\cdot h_{cog}}{l}$$
帶入上述參數會得到:
$$\Delta m =\frac {300\cdot 9.81\cdot 1.5\cdot 0.28}{1.55}=797.46(N)$$


在這裡我們預設重心位於車輛中心，也就是離前軸與後軸的距離一樣，所以靜態狀況下的軸上負載為:
$$
\begin{aligned}
m_{f}=F_{fv} =\frac {m}{2}&=1,471.5 N \\
m_{r}=F_{rv} =\frac {m}{2}&=1,471.5 N \\
\end{aligned}
$$

加速狀況的軸上負載為:
$$
\begin{aligned}
m_{df} =m_{f}-\Delta m&=674.04 N \\
m_{dr} =m_{r}+\Delta m&=2268.96 N 
\end{aligned}
$$

現在我們加入一個條件，當車輛加速時，輪胎對地面的力必須符合摩擦力公式，當輪胎對地面施加過度的力就會打滑
摩擦力公式:
$$
\begin{aligned}
F=\mu \cdot m
\end{aligned}
$$
可以看到這裡的$\mu$就相當於$F=m\cdot a$的$a$，從靜力平衡方程式也可以看到
$$
\begin{aligned}
F_{cogl}&=F_{fl}+F_{rl} \\
F_{cogv}&= F_{fv}+F_{rv} \\
F_{cogl}&=a\cdot F_{cogv} \\
F_{fl}+F_{rl}&=a \cdot (F_{fv}+F_{rv})
\end{aligned}
$$


所以我們可以把$\mu$ 用$a$代換
$$
\begin{aligned}
F_{fl}&=a \cdot F_{fv}=1011.06 N\\
F_{rl}&=a \cdot F_{rv}=3403.44 N
\end{aligned}
$$

有了$F_{fl}$與$F_{rl}$，將其乘上輪胎半徑即可得到軸上所需力矩
$$
\begin{aligned}
M_{faxis}=F_{fl} \cdot R_{w}=261.87 N \cdot m \\
M_{raxis}=F_{rl} \cdot R_{w}=881.49 N \cdot m
\end{aligned}
$$

$M_{faxis}$與$M_{raxis}$指的是軸上力矩，由於我們的車是四驅且每一輪有一馬達，所以減速機也是每輪一個，因此每一軸的力矩需再除以2才會是輪上力矩:
$$
\begin{aligned}
M_{fsingle}=\frac {M_{faxis}}{2}=130.93 N \cdot m \\
M_{rsingle}=\frac {M_{raxis}}{2}=440.75 N \cdot m
\end{aligned}
$$

除以馬達扭矩$21 N\cdot m$即可得到減速比
$$
\begin{aligned}
N_{tf}=\frac {130.93}{21}=6.23 \\
N_{tr}=\frac {440.75}{21}=20.99
\end{aligned}
$$
如果有足夠多資源，可以分別設計前後減速比，但為求資源最大化，前後用同規即可，請注意，如果有設計回充功能，需再考慮煞車時的重量轉移


> ### **以下為重量轉移推導**
-------
>我們可以用靜力學方法分析
$$
\begin{aligned}
\Sigma F_{x} &= 0 \\
\Sigma F_{y} &= 0 \\
\Sigma M_{z} &= 0
\end{aligned}
$$
其中$M_{z}$是對前輪接地點取力矩，把上述條件帶入後可得
$$
\begin{aligned}
F_{x} &= F_{cogl}-F_{fl}-F_{rl}=0 \\
F_{y} &= F_{cogv}-F_{fv}-F_{rv}=0 \\
M_{z} &=  F_{cogv} l_{f} + F_{cogl} h_{cog} - F_{rv} l=0
\end{aligned}
$$
帶入數字會得到
$$
\begin{aligned}
F_{fl}+F_{rl}&=300*9.81*1.5=4414.5(N)\\
F_{fv}+F_{rv}&=300*9.81=2943(n) \\
M_{z}&=300*9.81*0.775+300*9.81*1.5*0.28-F_{rv}*1.55)=0
\end{aligned}
$$
$M_{z}$部分計算過後可以得到
$$
\begin{aligned}
2280.825+1236.06&=1.55F_{rv} \\
F_{rv}&=2268.958(N)
\end{aligned}
$$




#### 極速
必須讓車輪轉速到達極速前馬達轉速接近弱磁區或過弱磁區不久，本次使用的馬達進弱磁區前轉速約$13000RPM$，輪胎在$700N$的正向負載下負載半徑約為$0.249m$，目標極速為$110km/h$，初估達到極速時馬達為14000RPM應為合理範圍(較嚴謹方法為跑縱向力學分析，觀察車速變化)

$\omega_{mMax}=14000 RPM=$馬達極限轉速
$V_{Max}=110km/h=30.56m/s=$車速極限
$R_{w}=0.249m=$輪胎在$700N$的正向負載下的負載半徑

根據角速度公式
$$ v=r\cdot \omega $$
可以得到如果在$110km/h$狀況下，車輪角速度應為
$$\omega_{wMax}=\frac {30.56}{0.249}=122.73 rad/s $$

而$RPM與rad/s$的關係如下:
$$1  rad/s = \frac {60}{2π} rpm $$
極速狀況下的車輪轉速應為:
$$\omega_{wMax}=122.73 rad/s =1171.99rpm $$
將$\omega_{mMax}$除以$\omega_{wMax}$即可得到減速比$N_{ts}$
$$N_{ts} = \frac {\omega_{mMax}}{\omega_{mMax}}=\frac {14000}{1171.99}=11.95$$


#### 平衡選擇
從前面計算可以發現，我們得到了三種減速比:
$N_{ts}=11.95$
$N_{tf}=6.23$
$N_{tr}=20.99$

其中$N_{tf}$可以忽略不計，那我們減速比的範圍就縮小至11.95~20.99了，建立縱向動力學與側向動力學模型，觀察這個範圍內哪個數值較能涵蓋加速與扭力兩個目標即可確定減速比，為讓文章繼續下去，這裡先挑15

### 壽命
從[FSAE車輛設計簡述](/sXTM9MjJTDSeuArcfJGShw)可以看到，車輛各部件總使用時長約為450小時，但減速機這個系統僅在車輛行駛時才會運作，並不是車輛開機就會開始耗損，故採用公里數與平均時速計算較佳:
$$L_{theory}=\frac {d_{season}}{v_{average}}=\frac {1500}{40}=37.5$$
$d_{season}=單賽季會走過的距離=1500km$
$v_{average}=車輛平均時速=40km/h$
由於我們的車往往會使用一個賽季以上，因此壽命會抓2倍，並為了避免分析失誤或有額外的比賽，最後會再乘上1.5倍

$$L_{Design}=L_{theory}\cdot 2 \cdot 1.5=112.5$$
向上取整後$L_{Design}=120hr$

### 重量
該減速機裝設在輪邊，屬簧下質量，所以是越輕越好，根據[Design of an picycloidal geartrain for a four-wheel drive Formula Student electric vehicle](https://webthesis.biblio.polito.it/14225/1/tesi.pdf)這篇論文，合理重量約為3-1.5kg(濕重，不含羊角)

### 效率
由於是初次設計，較不考慮效率問題，不要低得離譜就好，通常數據範圍在90-97左右

### 維護性
要考慮拆裝合理性，盡量不要出現緊配件，需要cf的部分要觀察是否有空間施作，後續清潔與保養功能也要考慮，記得畫注油孔

## 齒輪系設計

## 公規零件選用
### 軸承
### 螺絲
### o ring

## 齒輪系分析
### 參數選擇
#### 模數
#### 齒數


## 強度分析

## 零件設計

## 零件製造

