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title: Cálculo de uma variável

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# CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL

**Questão 01)** Com relação ao estudo do gráfico a seguir, verifique a existência de limite e de continuidade para: (0,8)

A gráfico da função parece se referir à 

$$f(x)=\left\{0\le x<\pi:\sin\left(x\right),\ \pi\le x\le2\pi:\cos\left(x\right)\right\}$$

![image](https://hackmd.io/_uploads/Sy_zsU5E6.png)


a) $x_0 = \frac{\pi}{2}$

:::success
A função é contínua no intervalo e os limites laterais são iguais com valor igual a $f(\frac{\pi}{2})$, logo o limite existe e é igual a 1.

$$
lim_{x\to\frac{\pi}{2}}f\left(x\right)=lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\sin\left(x\right)=1
$$
:::

b) $x_0 = \pi$,

:::danger
O ponto em questão apresenta uma descontinuidade, os limites laterais não são iguais, logo não existe limite.

$$
lim_{x\to\pi^{+}}f\left(x\right)=-1 \neq
lim_{x\to\pi^{-}}f\left(x\right)=0
$$

:::


c) $x_0 = \frac{3\pi}{2}$

:::success
A função é contínua no intervalo e os limites laterais são iguais com valor igual a $f(\frac{3\pi}{2})$, logo o limite existe e é igual a 0.

$$
lim_{x\to\frac{3\pi}{2}}f\left(x\right)=lim_{x\to\frac{3\pi}{2}}\cos\left(x\right)=0
$$
:::

d) $x_0 = 2\pi$:

:::success
A função é contínua no intervalo e só é possível afirmar o limite pela esquerda igual a $f(2\pi)$, logo o limite por definição existe.

Seja $f$ uma função de valor real definida em um subconjunto $D$ dos números reais. Seja $c$ um ponto de acumulação de $D$ e seja $L$ um número real. Dizemos que:

$$
lim_{x\to2\pi}f\left(x\right)= lim_{x\to c}f\left(x\right) = L = 1
$$

Se para todo $\epsilon \gt 0$ existe um $\delta > 0$  tal que, para todo $x \in D$, se $0 < |x-c| < \delta$, então $|f(x) - L| < \epsilon$
:::

**Questão 02 (1,0 ponto):** Calcule os limites das funções abaixo: (1,2)

![image](https://hackmd.io/_uploads/rkpGxD9Ea.png)

$$
lim_{x\to2}\frac{2x^{2}-8}{3x^{2}-4x-4}=lim_{x\to2}\frac{2\left(x^{2}-4\right)}{3\left(x-2\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)}
$$

$$
=lim_{x\to2}\frac{2\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{3\left(x-2\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)}=lim_{x\to2}\frac{2\left(x+2\right)}{3\left(x+\frac{2}{3}\right)}=\frac{2\left(2+2\right)}{3\left(2+\frac{2}{3}\right)}
$$

$$
=1
$$

![image](https://hackmd.io/_uploads/ryEmlDq4a.png)

Neste caso, o limite não existe pois:

$$
lim_{x\to4^{+}}\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x-4}}=0
$$

Mas o limite pela esquerda não existe:

$$
lim_{x\to4^{-}}\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x-4}} = \nexists 
$$

![image](https://hackmd.io/_uploads/Bki7eDcEa.png)

$$
lim_{x\to0^{+}}\frac{\cos\left(x\right)}{x\sin\left(x\right)} = +\infty
$$

$$
lim_{x\to0^{-}}\frac{\cos\left(x\right)}{x\sin\left(x\right)} = +\infty
$$

$$
lim_{x\to0} \frac{\cos\left(x\right)}{x\sin\left(x\right)} = +\infty
$$

Limite diverge para $+\infty$ tanto pela esquerda quanto pela direita.


![image](https://hackmd.io/_uploads/HyHElw546.png)

$$
lim_{x\to1^{-}}\frac{x\left(x-3\right)\left(2x+5\right)}{\left(x-1\right)\left(3x+4\right)\left(2-x\right)} = + \infty
$$

$$
lim_{x\to1^{+}}\frac{x\left(x-3\right)\left(2x+5\right)}{\left(x-1\right)\left(3x+4\right)\left(2-x\right)} = - \infty
$$

Limites diferentes para esquerda e direita, limite não existe