# Resoluções Série de MacLaurin

## 1. Encontrar a série de MacLaurin das funções abaixo usando a definição e encontre o raio de convergência.

### a) $f\left(x\right)=\left(1-x\right)^{-2}$

Para determinar a série de MacLaurin, calcuca-se as derivadas enésimas:

$$
\begin{align}
f'\left(x\right)&=-2\left(1-x\right)^{-3}\cdot\left(-1\right)=2\left(1-x\right)^{-3}\\
f''\left(x\right)&=2\cdot3\left(1-x\right)^{-4}\\
...\\
f^{\left(n\right)}\left(x\right)&=1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(1-x\right)^{-\left(n+2\right)}
\\f^{\left(n\right)}\left(x\right)&=\left(n+1\right)!\left(1-x\right)^{-\left(n+2\right)}
\end{align}
$$

Substituindo para $x=0$:
$$
f^{\left(n\right)}\left(0\right)=\left(n+1\right)!
$$

A função $f(x)$ pode ser aproximada utilizando a série de MacLaurin:

$$
f\left(x\right)\approx\ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{\left(n\right)}\left(0\right)\cdot x^{n}}{n!}
$$

$$
f\left(x\right)\approx\ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(n+1\right)!\cdot x^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(n+1\right)\cdot n!\cdot x^{n}}{n!}
$$

$$
f\left(x\right)\approx\ \sum_{n=0}^{\infty}\left(n+1\right)\cdot x^{n}
$$

#### Determinando o raio de convergência:

$$
R=lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|=lim_{n\to\infty}\left|\frac{n+1}{n+2}\right|=1
$$

#### Desenho do gráfico para a série de MacLaurin truncada:

Utilizando a série aproximada truncada em $n=50$, temos o seguinte gráfico:

<center>


</center>

> Percebe-se que no intervalo de convergência, a série obtida utilizando a definição é uma boa aproximação para a função $f(x)$

#### Script que implementa a série de MacLaurin (Octave)

f=0; x = 0.5; 

for n=0:50,
  f += (n+1)*x^n;
endfor

unix('clear'); f

Output do script:

f = 4.0000

Observa-se que para `x=0.5` o script retorna `f=4.0000`.

<center>


</center>

<!--
Desmos: https://www.desmos.com/calculator/kaautt9wyq
Docs: https://docs.google.com/document/d/1d95WvNw53Gh5U-hBQ2XIArM0PpYgnz2VzbfjRhL_4rs/edit
-->

### b) $f\left(x\right)=3x^2-6x+5$

A série de MacLaurin de um polinômio é o próprio polinômio e o raio de convergência é infinito!

## 2. Encontre a série de MacLaurin das funções, quando x for igual a 0,9 radianos

### 1. $f(x) = sinh(x)$

Usando a mesma abordagem descrita anteriormente, temos:

$$
f\left(x\right)\approx\ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{\left(n\right)}\left(0\right)\cdot x^{n}}{n!}
$$

Calculando as derivadas e substituindo:

$$
f\left(x\right)\approx\ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}
$$

Implementando no script:

f=0; x = 0.9; 

for n=0:50,
  f += x^(2*n+1)/factorial(2*n+1);
endfor

unix('clear'); f

#### Comparação com o valor

| Valor verdadeiro | Saída do script |
| -------- | -------- |
|  |  |

> Gráfico preto é a função tracejado de amarelo é a série obtida.

### 2. $f(x) = sin(x)$

Usando a mesma abordagem descrita anteriormente, temos:

$$
f\left(x\right)\approx\ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{\left(n\right)}\left(0\right)\cdot x^{n}}{n!}
$$

Calculando as derivadas e substituindo:

$$
f\left(x\right)\approx\ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}x^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}
$$

Implementando no script:

f=0; x = 0.9; 

for n=0:50,
  f += (-1)^n*x^(2*n+1)/factorial(2*n+1);
endfor

unix('clear'); f

#### Comparação com o valor

| Valor verdadeiro | Saída do script |
| -------- | -------- |
|  |  |

> Gráfico preto é a função tracejado de amarelo é a série obtida.

## 3. Determine a série de Taylor da função abaixo ao redor de a = −1. Achar o raio de convergência da série.

Usando a mesma abordagem descrita anteriormente, usando as derivadas da função:

$$
f^{\left(n\right)}\left(x\right)=2^{n}\cdot e^{2x}
$$

Determina-se então a série de taylor em torno de um $x_0$ qualquer:

$$
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2n\cdot e^{2x_{0}}}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n}
$$

Calculando as derivadas, substituindo e truncando em 50 elementos:

$$
f\left(x\right)\approx\ \sum_{n=0}^{50}\frac{2^{n}}{e^{2}n!}\left(x+1\right)^{n}
$$

Para calcular o raio de convergência:

$$
R=lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|
$$

$$
R=lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{2^{n}}{e^{2}n!}}{\frac{2\cdot2^{n}}{e^{2}\left(n+1\right)n!}}\right|=lim_{n\to\infty}\left|\frac{n+1}{2}\right|=\infty
$$

## 4. Encontre a série de Taylor da função abaixo ao redor de x = 2. Determine o raio de convergência

Usando a mesma abordagem descrita anteriormente, usando as derivadas da função:

$$
f\left(x\right)=\log\left(x\right)=\frac{1}{\ln\left(10\right)}\ln\left(x\right)
$$

Calcula-se as derivadas:
$$
\begin{align}
f'\left(x\right)&=\frac{1}{\ln\left(10\right)}\cdot x^{-1}\\
f''\left(x\right)&=\frac{1}{\ln\left(10\right)}\cdot\left(-1\right)x^{-2}\\
f'''\left(x\right)&=\frac{1}{\ln\left(10\right)}\cdot\left(2\right)x^{-3}\\
f''''\left(x\right)&=\frac{1}{\ln\left(10\right)}\cdot-6x^{-4}
\end{align}
$$

É possível perceber o padrão para derivada enésima ($n>0$):

$$
f^{\left(n\right)}\left(x\right)=\frac{1}{\ln\left(10\right)}\cdot\left(-1\right)^{\left(n-1\right)}\left(n-1\right)!\cdot x^{-n}
$$

Determina-se então a série de taylor em torno de um $x_0$ qualquer:

$$
\frac{1}{\ln\left(10\right)}\left(\ln\left(x_{0}\right)+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{\left(n-1\right)}\left(n-1\right)!\cdot x_{0}^{-n}}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)
$$

Calculando as derivadas, substituindo e truncando em 50 elementos:

$$
\frac{1}{\ln\left(10\right)}\left(\ln\left(2\right)+\sum_{n=1}^{50}\frac{\left(-1\right)^{\left(n-1\right)}\left(n-1\right)!}{2^{n}n!}\left(x-x_{0}\right)^{n}\right)
$$

<center>


</center>

Através do gráfico já é possível perceber que provavelmente o raio de convergência é $R=2$.

Para calcular o raio de convergência:

$$
R=lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|
$$

$$
R=lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{\left(-1\right)^{\left(n-1\right)}\left(n-1\right)!}{2^{n}n!}}{\frac{\left(-1\right)\left(-1\right)^{\left(n-1\right)}\left(n\right)\left(n-1\right)!}{2\cdot2^{n}\left(n+1\right)n!}}\right|
$$

$$
R=lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{\left(-1\right)^{\left(n-1\right)}\left(n-1\right)!}{2^{n}n!}}{\frac{\left(-1\right)\left(-1\right)^{\left(n-1\right)}\left(n\right)\left(n-1\right)!}{2\cdot2^{n}\left(n+1\right)n!}}\right|=lim_{n\to\infty}\left|\frac{1}{\frac{\left(-1\right)\left(n\right)}{2\cdot\left(n+1\right)}}\right|=2\cdot lim_{n\to\infty}\left|\frac{n+1}{n}\right|=2\cdot1=2
$$

## 5. Encontre a série de Taylor da função abaixo ao redor de x = -1. Determine o raio de convergência

$$
f\left(x\right)=3x^{2}-6x+5
$$

Usando a mesma abordagem descrita anteriormente, usando as derivadas da função:

$$
\begin{align}
f'\left(x\right)&=6x-6\\
f''\left(x\right)&=6
\end{align}
$$

Determina-se então a série de taylor em torno de um $x_0$ qualquer:

$$
f\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{\left(n\right)}\left(x_{0}\right)}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n}
$$

$$
f\left(x\right)=f\left(x_{0}\right)+f'\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f''\left(x_{0}\right)}{2}\left(x-x_{0}\right)^{2}
$$

Substituindo os valores:

$$
f\left(x\right)=14-12\left(x+1\right)+3\left(x+1\right)^{2}
$$

A série encontrada resulta em um polinômio equivalente à função, sendo somente agrupada em termos diferentes. A função não apresenta descontinuidades por ser um polinômio. O raio de convergência é infinito.

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