# Relatório 3 - Potência
**Aluno:** Lucas Pinheiro e Maurício Taffarel

## Introdução

Os transformadores são um dos equipamentos indispensáveis de um sistema elétrico de potência. Possibilitando uma transmissão de energia mais econômica através da possibilidade de elevação do nível de tensão elétrica em corrente alternada, diminuição da corrente nas linhas de transmissão e por consequência, quedas na linha. Além disso, em baixa potência, este dispositivo também tem uma enorme importância de isolação de circuitos, casamento de impedância (garantindo máxima transferência de potência), isolação CC, filtro de altas frequências, entre outras aplicações.

---

## Modelos de transformadores reais

Um transformador real possui perdas relacinadas ao seu funcionamento e confecção. Essas perdas são representadas por componentes resistivos e indutivos em um modelo utilizado para representar seu funcionamento durante o projeto e aplicação de circuitos tanto de alta quanto baixa potência. O modelo pode ser visualizado abaixo:

###### Imagem 1 - Modelo de um transformador

Sendo:

* $R_1$ e $R_2$: a resistência dos enrolamentos e a perda por aquecimento nos enrolamentos;
* $X_1$ e $X_2$: a dispersão do fluxo magnético no primário e secundário do transformador;
* $R_c$: as perdas no núcleo;
* $X_m$: a reatância de magnetização

Há ainda uma versão equivalente do modelo, resutante do rebatimento dos componentes do secundário para o primário e usada a depender da sua conveniência para o projeto. O modelo pode ser visualizado abaixo:

###### Imagem 2 - Modelo de transformador com rebatimento

A principal maneira de se encontrar o valor desses componentes é através da realização de ensaios com o transformador em questão em curto ou em aberto. Ao aplicar tensão no componente pode-se fazer algumas aproximações e eliminar parte do circuito descobrindo os parâmetros desejados a partir de análise de circuitos e contas simples.

Em laboratório utilizamos um pequeno transformador ligado a um varivolt e um analisador de energia.

---

## Ensaio em vazio

O ensaio em vazio é realizado ao se enrgizar o transformador com tensão nominal e com o secundário aberto, sem nenhuma conexão com qualquer carga. É utilizado principalmente para descobrir os parâmetros relacionados à reatância de magnetização e às perdas no núcleo, já que não haverão correntes relacionadas ao acionamento de cargas.

Para o cálculo dos parâmetros é assumida a perda no enrolamento desprezível, já que a corrente de magnetização representa uma parcela muito pequena da corrente nominal do dispositivo.

A partir da simplificação do modelo e da análise do circuito resultante, é possível chegar às seguintes equações:

$R_c=\frac{V_0^2}{P_0}$

$I_c=\frac{V_0}{R_c}$

$I_m=\sqrt{I_0^2-I_c^2}$

$X_m=\frac{V_0}{I_m}$

Durante o ensaio foi utilizado o lado de baixa tensão do transformador com tensão de alimentação variando de $10$ a $127V$ e medidas a corrente, tensão e potência com o analizador de energia.

Devido à baixa corrente esperada no circuito, o cabo utilizado para a medição de corrente foi enrolado com 10 voltas no transformador de corrente para que ses efeitos fossem amplificados e melhor mensurados.

Para maior analise foi obtida também a tensão de saída.

Os dados medidos, já corrigidos, foram os seguintes:

| Tensão ($V$) | Corrente ($mA$) | P ($W$) | Q ($VAr$) | S ($VA$) | f.p. | V~out~ ($V$) |
|:------------:|:---------------:|:-------:|:---------:|:--------:|:----:|:------------:|
| 30,3 | 25,4 | 0,6 | 0,3 | 0,6 | 1 | 57 |
| 40,11 | 29,9 | 0,9 | 0,6 | 1,0 | 0,9 | 77 |
| 50,2 | 35,1 | 1,3 | 1,0 | 1,6 | 0,81 | 96 |
| 60,3 | 41,3 | 1,8 | 1,5 | 2,3 | 0,77 | 116 |
| 70,3 | 48,6 | 2,4 | 2,4 | 3,3 | 0,75 | 133 |
| 80,1 | 58,0 | 3,1 | 3,3 | 4,5 | 0,68 | 156 |
| 90,9 | 74,0 | 3,9 | 5,4 | 6,6 | 0,59 | 174 |
| 100,5 | 95,6 | 4,7 | 8,3 | 9,4 | 0,49 | 191 |
| 110,3 | 127,8 | 5,6 | 13,0 | 14,0 | 0,39 | 210 |
| 120,1 | 170,9 | 6,6 | 19,6 | 20,5 | 0,31 | 229 |
| 127,3 | 213,9 | 7,3 | 26,3 | 27,1 | 0,27 | 242 |

### Reatância de Magnetização e Resistência de Perdas no Núcleo

De acordo com as equações de ensaio em vazio descritas acima, utilizando os valores medidos em tensões próximas à nominal, podemos calcular os parâmetros $X_m$ e $R_c$ do modelo de transformadores dados por:

$R_c=\frac{V_0^2}{P_0}=\frac{127,3^2}{7,3}=2219,90\Omega$

$I_c=\frac{V_0}{R_c}=\frac{127,3}{2219,90}=57,34mA$

$I_m=\sqrt{I_0^2-I_c^2}=\sqrt{213,9m^2-57,34m^2}=206,07mA$

$X_m=\frac{V_0}{I_m}=\frac{127,3}{206,07m}=617,75\Omega$

### Perdas nominais no núcleo

Com a primeira etapa do modelo concluída, podemos calcular as perdas no núcleo do transformador para funcionamento nominal. Fazendo:

$P_{R_c}=\frac{V1^2}{R_C}=\frac{127^2}{2219,90}=7,26W$

### I~0~ x V~0~


### P~0~ x V~0~ e P~0~ x V²

| P~0~ x V~0~ | P~0~ x V² |
|:------------------------------------:|:------------------------------------:|
|  |  |

Ao analizar-mos o gráfico P~0~ x V² podemos perceber a relação linear existente entre os fatores, onde a inclinação da reta é dada pelo valor de R~c~.

### Q~0~ x V~0~

### S~0~ x V~0~

Nestes dois ultimos, percebe-se o comportamento não linear, causado pelo aumento de tensão, comprova-se que uma parcela significativa de potência é utilizada para magnetização

### f.p. x V~0~

Isto também é visto em forma de fator de potência, quanto mais próximo dos valores nominais da máquina, a vazio, observa-se um baixo fator de potência.

### $\alpha$ x V~0~

Por outro lado, a relação de transformação se mantém aproximadamente constante, algo esperado uma vez que o transformador é um dispositivo linear.

---

## Ensaio em curto

O ensaio em curto é realizado ao se enrgizar o transformador através do lado de alta tensão com corrente nominal e com o secundário em curto. É utilizado principalmente para descobrir os parâmetros relacionados aos enrolamentos, já que as correntes e perdas de magnetização são pequenas em relação à corrente nominal.

A partir da simplificação do modelo e da análise do circuito resultante, é possível chegar às seguintes equações:

$R_eq=R_1+R_2'$

$X_eq=X_1+X_2'$

e

$R_{eq}=\alpha^2\frac{P_{cc}}{I_{cc}^2}$

$Z_{eq}=\alpha^2\frac{V_{cc}}{I_{cc}}$

$X_{eq}=\sqrt{Z_{eq}^2-R_{eq}^2}$

Durante o ensaio foi utilizado o lado de alta tensão do transformador com tensão de alimentação sendo incrementada a partir de $10V$ até a corrente atingir seu valor nominal. Foram feitas as medidas de corrente, tensão e potência com o analizador de energia.

Nessa etapa não foi necessário dar voltas a mais na garra de medição de corrente.

Os dados medidos foram os seguintes:

| Tensão ($V$) | Corrente ($mA$) | P ($W$) | Q ($VAr$) | S ($VA$) | f.p. |
|:------------:|:---------------:|:-------:|:---------:|:--------:|:----:|
| 10,0 | 3,340 | 32 | 8 | 31 | 1 |
| 11,2 | 3,720 | 40 | 0 | 39 | 1 |
| 12,2 | 3,905 | 47 | 0 | 46 | 1 |
| 13,0 | 3,951 | 50 | 10 | 50 | 1 |
| 14,1 | 4,316 | 56 | 15 | 59 | 1 |
| 15,3 | 4,570 | 69 | 16 | 69 | 1 |
| 16,1 | 4,616 | 73 | 12 | 73 | 1 |
| 16,5 | 4,773 | 77 | 12 | 77 | 1 |

### Resistências e Reatâncias dos enrolamentos

De acordo com as equações de ensaio em curto mostradas acima, utilizando:

$\alpha=\frac{V_2}{V_1}=\frac{220}{127}=1,73$

e os valores medidos em correntes próximas à nominal, podemos calcular os parâmetros $R_{eq}$ e $X_{eq}$ do modelo de transformadores dados por:

$R_{eq}=\alpha^2\frac{P_{cc}}{I_{cc}^2}=1,73^2\frac{77}{4,773^2}=10,12\Omega$

$Z_{eq}=\alpha^2\frac{V_{cc}}{I_{cc}}=1,73^2\frac{16,5}{4,773}=10,35\Omega$

$X_{eq}=\sqrt{Z_{eq}^2-R_{eq}^2}=\sqrt{10,35^2-10,12^2}=2,17$

Podemos, ainda, estimar:

$R_1=R_2'=\frac{R_{eq}}{2}=\frac{10,12}{2}=5,60\Omega$

$X_1=X_2'=\frac{X_{eq}}{2}=\frac{2,17}{2}=1,09\Omega$

e

$R_2=\frac{R_2'}{\alpha^2}=\frac{5,60}{1,73^2}=1,87\Omega$

$X_2=\frac{X_2'}{\alpha^2}=\frac{1,09}{1,73^2}=0,36\Omega$

### Perdas nominais no cobre

Com a impedância calculada, podemos calcular as perdas nominais no cobre. Fazendo:

$P_{cc}=\frac{R_{eq}\cdot I_{cc}^2}{\alpha^2}=\frac{10,12\cdot4,77^2}{1,73^2}=76,94W$

### I~cc~ x V


A corrente varia aproximadamente linear com a tensão, isso se deve a condição de curto, o transformador opera majoritariamente resistivo.

### P~cc~ x V e P~cc~ x I~cc~²

| P~cc~ x V | P~cc~ x I~cc~² |
|:------------------------------------:|:------------------------------------:|
|  |  |

### Q~cc~ x V


### S~cc~ x V


O mesmo acontece para as potências, uma relação aproximdamente linear. Potência reativa é pequena em relação a potência aparente total.

### f.p. x V


Isso se comprova mais uma vez com o fator de potẽncia unitário, o circuito é majoritariamente resistivo

## Ensaio de regulação

Após os ensaios em curto e a vazio foram feitos ensaios de regulação com algumas cargas de comportamentos diferente, um motor de exaustor com fator de potencia indutivo, uma lampada incandescente com fator de potência unitário e uma LFC de fator de potência capacitivo.

A regulação mede a diferença de tensão causada pelo desligamento de uma carga em um transformador. Essa diferença de carga é causada pela compensação das perdas no transformador, que necessita de uma tensão de entrada maior para suprir a tensão desejada na carga.

A partir da fórmula:

$Reg_{(\%)}=\frac{V_{2, vazio}-V_{2, carga}}{V_{2, carga}}\cdot 100$

foi possivel completar a seguinte tabela:

| Componente | Tensão (V) | Corrente (A) | P (W) | Q (VAr) | S(VA) | f.p. | V~reg~ | Reg~(%)~ |
|:---------------------:|:----------:|:------------:|:-----:|:-------:|:-----:|:----:|:------:|:--------:|
| Exaustor | 110 | 0,500 | 37 | 42 i | 54 | 0,67 | 115,2 | 4,73 |
| Lâmpada Incandescente | 127,4 | 0,710 | 90 | 13 i | 90 | 1 | 134,8 | 5,81 |
| LFC | 127 | 0,280 | 18 | 30 c | 34 | 0,52 | 128,8 | 1,42 |
| Todos | 127 | 1,358 | 161 | 56 i | 170 | 0,94 | 137,8 | 8,50 |

Todas as cargas apresentaram uma elevação na tensão de saída do transformador quando a carga foi desligada. Quanto maior a potência da carga, maior a corrente e maior a queda de tensão nas "cargas" internas do transformador.

Uma carga capacitiva pode possuir perdas internas menores por compensar a natureza indutiva dos transformadores.

## 4. Problemas de Engenharia relacionados a Transformadores

Uma concessionária necessita estabelecer uma política de utilização de
transformadores trifásicos entre 15 e 150 kVA em função da demanda em kVA. Os técnicos definiram como critério o nível de perdas dos transformadores. Os valores de perdas são apresentados abaixo.


Calculando as perdas percentuais em função da demanda, temos:


$$
\frac{P-\left(P_{fe}+P_{cu}\right)}{0.01P}
$$

Observa-se uma diminuição nas perdas com o aumento da demanda, é claro que um transformador de 15kVA não suportaria operar em 150kVA, suas bobinas provavelmente não suportariam o valor de corrente tão acima do nominal.

E o rendimento, teoricamente melhoraria, uma vez que ocorre a diminuição das perdas percentuais:

$$
\frac{P-\left(P_{fe}+P_{cu}\right)}{0.01P}
$$


### 4.2 Polı́tica de utilização de transformadores

Considerando a potência total de perda dos transformadores, o modelo 4 apresenta a menor perda.


No entanto este modelo é o mais caro, então deve ser realizado um estudo considerando o carregamento, o uso do transformador ao longo do dia, considerar também o tempo de vida para saber se esse ainda vale a pena, ou há um outro mais econômico, pensando a longo prazo.

Considerando o carregamento abaixo:
$$
c=\left[0.3,0.3,0.3,0.3,0.5,0.5,0.5,0.5,0.6,0.6,0.6,0.6,0.7,0.7,0.7,0.7,0.8,0.8,0.9,1,1,0.8,0.6,0.4\right]
$$

Foi levantado o índice de cosumo diário de cada transformador levando em consideração que as perdas no ferro tem uma relação quadrática com o carregamento, como foi visto ao longo deste relatório.

$$
\sum_{i=1}^{24}\frac{P_{cu}+P_{fe}c\left[i\right]^{2}}{c\left[i\right]}
$$


O transformador que apresentou um menor índice, como esperado, foi o modelo 4 (Ericsson). Inclusive, mesmo com o seu valor de 8428.02 reais, sendo o mais caro, a longo prazo é a opção mais viável economicamente considerando um tempo de vida de um transformador de 20 anos.

###### tags: `UFBA`