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title: Relatório Potência - Prática 2
tags: [UFBA]

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# Relatório Potência - Prática 2

**Alunos:** Lucas Pinheiro e Maurício Taffarel


## 1. Introdução
Uma carga pode ser definida como um equipamento ligado em um sistema de potência elétrico. Existem diversos tipos de cargas, definidas como modelos, cada modelo de carga está diretamente ligado com o modo de funcionamento da carga, assim, podemos considerar 3 modelos:

- Modelo de potência constante
- Modelo de impedância constante
- Modelo de corrente constante
 
## 2. Fundamentação Teórica
### 2.1 Potência constante

O modelo de potência constante, mantém a potência constante mesmo com variações da tensão de operação.

<center>

![](https://i.imgur.com/5yXVqWo.png)
###### Figura 1 - Modelo de carga de potência constante 
</center>

Quando esta carga for submetida a uma variação na tensão de operação abaixo da nominal, a corrente irá aumentar a fim de manter a potência constante. Ou seja:

$$
S_{antes}=S_{depois}\\
V_{antes} I_{antes}^{\ast}=V_{depois} I_{depois}^{\ast}\\
\frac{V_{antes}}{V_{depois}}=\left(\frac{I_{depois}}{I_{antes}}\right)^{\ast}=K
\tag{1}
$$

Pela equação $(1)$ podemos verificar que se $K>1$, há uma queda de tensão ($V_{antes} > V_{depois}$) e há um aumento na corrente do sistema com tensão reduzida.

> Exemplos de circuitos desse tipo são motores elétricos.


### 2.2 Impedância constante

Este tipo de carga se comporta como um circuito RLC, podendo inclusive ser modelado de tal forma.

<center>

![](https://i.imgur.com/XLrhwRx.png)

###### Figura 2 - Modelo de carga de impedância constante
</center>

Isto significa que independentemente da tensão de alimentação, a impedância se mantém constante. Assim, considerando a impedância constante em duas operações diferentes $Z_{antes}=Z_{depois}$:

$$
Z_{antes}=\frac{\left|V_{antes}\right|^{2}}{S_{antes}^{\ast}}=\frac{\left|V_{depois}\right|^{2}}{S_{depois}^{\ast}}=Z_{depois}
\tag{2a}
$$

Isolando $(2a)$:

$$
\left|\frac{V_{antes}}{V_{depois}}\right|^{2}=\left(\frac{S_{antes}}{S_{depois}}\right)^{\ast}=\left|K\right|^{2}
\tag{2b}
$$

Da equação $(2b)$, é possível perceber que nesse sistema, a potência da carga não se mantém constante como no modelo anterior. Sendo $K$ a razão entre os as tensões em diferentes niveis de operação, para esse modelo de carga, a potência varia quadraticamente.

Analisando o efeito da corrente:

$$
Z_{antes}=\frac{V_{antes}}{I_{antes}^{\ast}}=\frac{V_{depois}}{I_{depois}^{\ast}}=Z_{depois}
\tag{3a}
$$

$$
\frac{V_{antes}}{V_{depois}}=\left(\frac{I_{antes}}{I_{depois}}\right)^{\ast}=K
\tag{3b}
$$

Da equação $(3b)$, podemos verificar que o módulo da razão das correntes em diferentes niveis de operação é proporcional à razão entre as tensões em diferentes operações, diferentemente do item anterior em que a razão de correntes dependia do inverso da razão das tensões.

> Cargas resistivas como aquecedores ou capacitores de correção de fator de potência são exemplos de cargas deste tipo.

### 2.3 Corrente constante

Neste último modelo a carga consome corrente constante independentemente da tensão de alimentação.

<center>

![](https://i.imgur.com/RsOIteM.png)

###### Figura 3 - Modelo de carga de corrente constante
    
</center>

Considerando a corrente constante:

$$
I_{antes}=\left(\frac{S_{antes}}{V_{antes}}\right)^{\ast}=\left(\frac{S_{depois}}{V_{depois}}\right)^{\ast}=I_{depois}
\tag{4a}
$$

Isolando a razão entre as tensões de $(4a)$:

$$
\frac{S_{antes}}{S_{depois}}=\frac{V_{antes}}{V_{depois}}=K=\left|K\right|e^{j\theta}
\tag{4b}
$$

Através da equação $(4b)$, pode-se perceber que a potência varia proporcionalmente à variação de tensão, inclusive é importante salientar que o fator de potência da carga é mantido.

### 2.4 Resumo das cargas

Utilizando as analise anteriores, pode-se verificar graficamente para os três tipos de cargas, a relação entre tensão, corrente e potência normalizadas por unidade. Isto pode ser resumido através de 2 gráficos. 

|             $S\times V$              |             $I\times V$              |
|:------------------------------------:|:------------------------------------:|
| ![](https://i.imgur.com/CuQ68uE.png) | ![](https://i.imgur.com/IfRyYVL.png) |

A partir do conhecimento dos modelos de cargas, a prática consistia na análise de tensão e corrente para os 3 modelos citados anteriormente.

## 3. Componentes individuais



Utilizando as equações $(1), (2), (3)$ e $(4)$ e os dados obtidos nas práticas anteriores podemos completar as seguintes tabelas com dados esperados para a variação de tensão de acordo com o tipo de modelo de carga de cada componente.

Durante os experimentos foram feitos vários ensaios medindo as reações dos diferentes tipos de cargas à variação do nivel de tensão simulando uma possível redução dos niveis de tensão de uma rede de distribuição de energia elétrica.

As cargas foram alimentadas através de um varivolt acoplado a um analizador de energia, excursionado de 100 a 140 Volts onde foram captados os níveis de tensão, corrente, potência aparente, ativa e reativa e fator de potência.


### 3.1  Resistor de 100 Ohms
O resistor se comporta como uma carga de impedância constante, sendo assim, para calcular os valores de potência, usaremos a equação $(2b)$, e para corrente a equação $(3b)$.

Com as medições feitas em laboratório, a seguinte tabelo pôde ser preenchida.

| Tensão | 100 Calc. | 100 Exp. | 110 Calc. | 110 Exp. | 120 Calc. | 120 Exp. | 130 Calc. | 130 Exp. | 140 Calc. | 140 Exp. |
|:---------:|:---------:|:--------:|:---------:|:--------:|:---------:|:--------:|:---------:| --------:|:---------:|:--------:|
|   P(W)    |   101,8   |   99,8   |  123,18   |  117,4   |  146,60   |  140,4   |  172,05   |    164,2 |  199,54   |  191,0   |
|  Q(VAr)   |     0     |    6     |     0     |   6,8    |     0     |   7,4    |     0     |      8,0 |     0     |   8,6    |
|   S(VA)   |  129,29   |   99,8   |  142,22   |  117,4   |  155,15   |  140,4   |  168,08   |    164,2 |  181,01   |  191,0   |
|   I(A)    |    1,0    |   0,99   |    1,1    |   1,07   |    1,2    |   1,17   |    1,3    |     1,27 |    1,4    |   1,37   |
|    FP     |    1,0    |   1,00   |   1,00    |   1,00   |   1,00    |   1,00   |   1,00    |     1,00 |   1,00    |   1,00   |

A seguir, os gráficos comparativos dos dados calculados e experimentais.


|             $S\times V$              |             $I\times V$              |
|:------------------------------------:|:------------------------------------:|
| ![](https://i.imgur.com/UqQS7PT.png) | ![](https://i.imgur.com/GhD9pY3.png) |


Espera-se que resistores tenham uma boa compatibilidade com modelos de carga de impedância constante já que não se espera que sua resistência se altere devido a variações de tensão próximas à operacional, sendo assim, é esperado uma relação quadrática na potência fornecida a este tipo de carga, para diferentes regiões de operação. Já para a corrente temos um aumento proporcional à tensão.

Ns valores obtidos em laboratório da energização dos resistores foram encontrados valores muito coerentes com os calculados. Apenas as leituras dos valores de potência reativa causaram alguma alteração na potência aparente.
Isso pode ser causado por aspectos construtivos do resistor que adicionaram alguma carga indutiva muito pequena, desprezível para a maioria das aplicações.

### 3.2 Motor Eberle

O motor deve se comportar como uma carga de potência constante, sendo assim, o seu valor nominal de potência aparente é mantido inalterado para diferentes valores de tensões de operação. Já para a corrente, podemos obter o seus valores teóricos esperados utilizando a equação $(1)$.

Juntado os dados calcuados com os experimantais podemos gerar a seguinte tabela:

| Tensão(V) | 100 Calc. | 100 Exp. | 110 Calc. | 110 Exp. | 120 Calc. | 120 Exp. | 130 Calc. | 130 Exp. | 140 Calc. | 140 Exp. |
|:---------:| --------- | --------:| --------- | --------:| --------- | --------:| --------- | --------:| --------- | --------:|
|   P(W)    | 51        |     33,4 | 51        |     38,6 | 51        |     44,8 | 51        |     51,0 | 51        |     59,4 |
|  Q(VAr)   | 63        |     36,4 | 63        |     44,0 | 63        |     52,6 | 63        |     63,0 | 63        |     75,2 |
|   S(VA)   | 80,6      |     49,6 | 80,6      |     58,6 | 80,6      |     69,0 | 80,6      |     80,6 | 80,6      |     95,4 |
|   I(A)    | 0,79      |     0,53 | 0,71      |     0,53 | 0,66      |     0,58 | 0,61      |     0,62 | 0,56      |     0,68 |
|    FP     | 0,63      |     0,66 | 0,63      |     0,66 | 0,63      |     0,64 | 0,63      |     0,63 | 0,63      |     0,61 |

E os seguintes gráficos comparativos:


|             $S\times V$              |             $I\times V$              |
|:------------------------------------:|:------------------------------------:|
| ![](https://i.imgur.com/PofuEHD.png) | ![](https://i.imgur.com/wsGCvaW.png) |
 
Espera-se que motores elétricos respeitem as curvas de carga de potência constante já que, de acordo com suas caracteristicas dinâmicas, eles precisam de mais corrente para realizar um mesmo trabalho com tensão inferior à de regime operacional.

Os dados obtidos no acionamento do motor foram bastante discrepantes devido à forma como o motor foi aplicado. Como o motor é utilizado para fins de exaustão sem nenhum tipo de controle, a carga sob o motor é muito pequena, possui carga comparativa a um motor ensaiado a vazio, e não apresenta o mesmo comportamento de um motor que deve efetuar algum trabalho específico em uma indústria. Uma bomba que deve causar o deslocamento de um fluido a um determinado fluxo precisaria aumentar a corrente para compensar a falta de tensão em uma eventual redução do nivel fornecido pela distribuidora, causando o efeito de potência constante.

### 3.3 Lâmpada LFC de 20W

Para este tipo de carga, é esperado um comportamento de corrente constante. Utilizando a equação $(4a)$ e $(4b)$ e os dados obtidos em laboratório, é possível preencher a tabela abaixo para diferentes pontos de operação:

| Tensão(V) | 100 Calc. | 100 Exp. | 110 Calc. | 110 Exp. | 120 Calc. | 120 Exp. | 130 Calc. | 130 Exp. | 140 Calc. | 140 Exp. |
|:---------:| --------- | --------:| --------- | --------:| --------- | --------:| --------- | --------:| --------- | --------:|
|   P(W)    | 17,64     |     18,0 | 19,40     |     19,2 | 21,16     |     20,8 | 22,93     |     22,4 | 24,69     |     25,0 |
|  Q(VAr)   | 23,46     |     21,6 | 25,81     |     23,6 | 28,16     |     26,4 | 30,5      |     29,4 | 32,85     |     33,4 |
|   S(VA)   | 29,50     |     28,2 | 32,40     |     30,4 | 35,34     |     33,6 | 38,28     |     37,4 | 41,23     |     41,2 |
|   I(A)    | 0,29      |     0,28 | 0,29      |     0,28 | 0,29      |     0,28 | 0,29      |     0,29 | 0,29      |     0,29 |
|    FP     | 0,60      |     0,64 | 0,60      |     0,63 | 0,60      |     0,61 | 0,60      |     0,60 | 0,60      |     0,58 |

Além dos seguintes gráficos comparativos:




|             $S\times V$              |             $I\times V$              |
|:------------------------------------:|:------------------------------------:|
| ![](https://i.imgur.com/7fOLgs5.png) | ![](https://i.imgur.com/GiWMB3H.png) |

Espera-se que Lâmpadas de LFC respeitem a curva de carga de corrente constante já que seu circuito de adaptação da energia de entrada para a energia de saída funciona regulando os parâmetros de entrada de forma a estabilizar esses fatores.



Os valores obtidos no acionamento da lampada LFC foram bem coerentes com os calcuados. As diferenças form causadas principalmente devido ao baixo fator de potência da carga onde pequenas diferenças nas potencias ativa e reativa causam grandes variações na potência aparente.

## 4. Cargas compostas


Com o objetivo de avaliar o efeito de uma rede de cargas compostas, foi escolhido um conjunto de cargas de acordo com a tabela a seguir:

<center>

|  Equipes  |         Componentes em paralelo          |
|:---------:|:----------------------------------------:|
| 2.1 e 4.1 | (02) Resistores de 100 ohms, motor e LFC |

</center>

O circuito proposto para avalização teórica de modelos de cargas compostos pode ser visto na imagem abaixo:

<center>

![](https://i.imgur.com/p4wxXbx.png)
    
</center>

Utilizando as equações $(1)$, $(2a)$, $(2b)$, $(3a)$, $(3b)$, $(4a)$ e $(4b)$, pode-se expressar a potência total como a soma das potências individuais dos componentes:

$$
S_{composto}=2S_{100}+S_{LFC}+S_{Mn}
\tag{5a}
$$

De posse dos valores nominais dos equipamentos, a equação acima pode ser descrita em função da tensão de operação $V$:


$$
S_{composto}=2S_{100n}\left(\frac{V}{V_{n}}\right)^{2}+S_{LFCn}\left(\frac{V}{V_{n}}\right)+S_{Mn}
\tag{5b}
$$

De maneira simular, isso pode ser feito para a corrente total:

$$
I_{composto}=2I_{100n}\left(\frac{V}{V_{n}}\right)+I_{LFCn}+S_{Mn}\left(\frac{V}{V_{n}}\right)^{-1}
\tag{5c}
$$

Desta forma, $S_{composto} = f(V)$ e $I_{composto} = g(V)$. Esta primeira função é conhecida por modelar a carga do tipo ZIP, que considera uma carga com parcelas de cargas de impedância constante, corrente constante e potência constante. Geralmente este modelo é descrito por contribuições normalizadas com constantes $\alpha, \beta, \gamma$:

$$
S_{ZIP}=\alpha\left(\frac{V}{V_{n}}\right)^{2}+\beta\left(\frac{V}{V_{n}}\right)+\gamma
\tag{6a}
$$
$$
I_{ZIP}=\tau\left(\frac{V}{V_{n}}\right)+δ+\theta\left(\frac{V}{V_{n}}\right)^{-1}
\tag{6b}
$$


A tabela a seguir discrimina os valores para as principais grandezas deste modelo composto. 

<center>

| Tensão(V) |    100 |    110 |    120 |    130 |    140 |
|:---------:| ------:| ------:| ------:| ------:| ------:|
|   P(W)    | 267,29 | 310,77 | 358,22 | 409,65 | 465,04 |
|  Q(VAr)   |  96,38 | 100,81 | 105,44 | 110,27 | 115,29 |
|   S(VA)   | 313,66 | 359,56 | 409,13 | 462,98 | 520,90 |
|   I(A)    |   3,08 |   3,21 |   3,34 |   3,50 |   3,65 |
|    FP     |   0,85 |   0,86 |   0,87 |   0,88 |   0,89 |
    
</center>

O fator de potência total médio está entre o fator de potência dos resistores e dos motores e lâmpadas, algo esperado. Nota-se também que o fator de potência está relativamente alto por conta da maior contribuição de potência ser dos resistores. 

O módulo da corrente parece variar menos do seu valor nominal em relação a potência. Este comportamento, assim como o comportamento da potência podem ser vistos nos gráficos a seguir:

<center>

|             $S\times V$              |             $I\times V$              |
|:------------------------------------:|:------------------------------------:|
| <img src="https://i.imgur.com/VIa5B6y.png" width="480px"> | <img src="https://i.imgur.com/FY5Bzsm.png" width="480px"> |
    
</center>

Visualizando a curva de potência, percebemos que ela apresenta maior semelhança com um modelo de carga a impedância constante, já que podemos sugerir um comportamento próximo ao quadrático, isso se deve à maior contribuição resistiva.

Além disso, na curva de corrente, podemos ver seus valores mais comportados do que o de potência. O motivo para isso é que na equação $(6b)$ de corrente composta, não existe um termo quadrático como existe na potência composta $(6a)$ e há um termo de contribuição inversamente proporcional com a razão da tensão de operação e o seu valor nominal, esta parcela é devido às cargas de potência constante. Este é o motivo pelo qual a corrente composta na curva de corrente não é monotonamente crescente, como é a curva de potência.

## 5. Análise uma linha de distribuição

Foram feitas simulações de uma linha de distribuição para uma carga de $2KVA$ com FP de $0,8$ indutivo sob alimentação de uma fonte de $127V$ com condutores de $2.5mm^2$ para distâncias de $10m$, $50m$ e $100m$.

Os calculos foram iterados a partir de software (Octave) com o script listado abaixo:

```python=
Sb = 2e3;
Vb = 127;
FP = 0.8;
Zb = Vb^2/Sb;

R = [10 50 100]*0.0172/2.5/Zb;
Vs = 1;

V = 1;
S = 1*e^(j*acos(FP));
Z = V^2/conj(S);
In = conj(S/V);

while 1
  I = conj(S/V);
  V_ = V;
  V = Vs - I*R(1);
  erro = (V_ - V)/V;
  if (erro < 0.001)
    break;
  endif
endwhile
```
Foi utilizada uma variação de $0,1\%$ como limite da iteração e os valores obtidos foram os seguintes:


### Potência constante:

| $10m$ | $50m$ | $100m$ |
|:-----:|:-----:|:------:|
| $126.1256 < 0.29529° V$ | $122.4613 < 1.5209° V$ | $117.4419 < 3.1731° V$ |

<center>

|                $V \times d$                 |
|:------------------------------------:|
| ![](https://i.imgur.com/SaWPuHs.png) |

</center>

### Impedância constante:

| $10m$ | $50m$ | $100m$ |
|:-----:|:-----:|:------:|
| $126.1374 < 0.29126° V$  | $122.7719 < 1.4178° V$  |  $118.7551 < 2.745° V$  |
<center>

|                $V \times d$                 |
|:------------------------------------:|
| ![](https://i.imgur.com/dM6wcUq.png) |

</center>

### Corrente constante:

```python=1
V = Vs - In*R;
```


| $10m$ | $50m$ | $100m$ |
|:-----:|:-----:|:------:|
| $126.1349 < 0.29529° V$  | $122.7092 < 1.5179° V$  |  $118.5107 < 3.1445° V$  |
<center>

|                $V \times d$                 |
|:------------------------------------:|
| ![](https://i.imgur.com/LbHirRF.png) |

</center>
                   
### Comparação:

![](https://i.imgur.com/p7xs033.png)

Pode-se perceber que o modelo de carga de potência constante faz com que a tensão na carga caia ainda mais devido ao aumento da corrente necessário para manter a potência constante o que aumenta a queda de tensão no condutor do sistema de distribuição realimentando o sistema em queda.

O modelo de impedância constante funciona de forma oposta ao modelo de potência constante já que consome menos corrente conforme a tensão diminui, causando o menor afundamento da tensão na carga.

O modelo de corrente constante é o modelo intermediario que causa uma perda constante no condutor independente do nível de tensão, não piorando, nem diminuindo os efeitos do afundamento de tensão.

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