# Pré relatório - Prática 2

**Alunos:** Lucas Pinheiro e Maurício Taffarel

## 1. Modelos de carga

Uma carga pode ser definida como um equipamento ligado em um sistema de potência elétrico. Existem diversos tipos de cargas, definidas como modelos, cada modelo de carga está diretamente ligado com o modo de funcionamento da carga, assim, podemos considerar 3 modelos:

- Modelo de potência constante
- Modelo de impedância constante
- Modelo de corrente constante

### 1.1 Potência constante

O modelo de potência constante, mantém a potência constante mesmo com variações da tensão de operação.

<center>


###### Figura 1 - Modelo de carga de potência constante
</center>

Quando esta carga for submetida a uma variação na tensão de operação um valor abaixo da nominal, a corrente irá aumentar a fim de manter a potência constante. Ou seja:

$$
S_{antes}=S_{depois}\\
V_{antes} I_{antes}^{\ast}=V_{depois} I_{depois}^{\ast}\\
\frac{V_{antes}}{V_{depois}}=\left(\frac{I_{depois}}{I_{antes}}\right)^{\ast}=K
\tag{1}
$$

Pela equação $(1) podemos verificar que se $K>1$, há uma queda de tensão ($V_{antes} > V_{depois}$) e há um aumento na corrente do sistema com tensão reduzida.

> Exemplos de circuitos desse tipo são motores elétricos.

### 1.2 Impedância constante

Este tipo de carga se comporta como um circuito RLC, podendo inclusive ser modelado de tal forma.

<center>


###### Figura 2 - Modelo de carga de impedância constante
</center>

Isto significa que independentemente da tensão de alimentação, a impedância se mantém constante. Assim, considerando a impedância constante em duas operações diferentes $Z_{antes}=Z_{depois}$:

$$
Z_{antes}=\frac{\left|V_{antes}\right|^{2}}{S_{antes}^{\ast}}=\frac{\left|V_{depois}\right|^{2}}{S_{depois}^{\ast}}=Z_{depois}
\tag{2a}
$$

Isolando $(2a)$:

$$
\left|\frac{V_{antes}}{V_{depois}}\right|^{2}=\left(\frac{S_{antes}}{S_{depois}}\right)^{\ast}=\left|K\right|^{2}
\tag{2b}
$$

Da equação $(2b)$, é possível perceber que nesse sistema, a potência da carga não se mantém constante como no modelo anterior. Sendo $K$ a razão entre os as tensões em diferentes niveis de operação, para esse modelo de carga, a potência varia quadraticamente.

Analisando os efeitos da corrente:

$$
Z_{antes}=\frac{V_{antes}}{I_{antes}^{\ast}}=\frac{V_{depois}}{I_{depois}^{\ast}}=Z_{depois}
\tag{3a}
$$

$$
\frac{V_{antes}}{V_{depois}}=\left(\frac{I_{antes}}{I_{depois}}\right)^{\ast}=K
\tag{3b}
$$

Da equação $(3b)$, podemos verificar que o módulo da razão das correntes em diferentes niveis de operação é proporcional à razão entre as tensões em diferentes operações, diferentemente do item anterior, que a razão de correntes dependia do inverso da razão das tensões.

> Cargas resistivas como aquecedores ou capacitores de correção de fator de potência são exemplos de cargas deste tipo.

### 1.3 Corrente constante

Neste último modelo, a carga consome corrente constante independentemente da tensão de alimentação.

<center>


###### Figura 3 - Modelo de carga de corrente constante

</center>

Considerando a corrente constante:

$$
I_{antes}=\left(\frac{S_{antes}}{V_{antes}}\right)^{\ast}=\left(\frac{S_{depois}}{V_{depois}}\right)^{\ast}=I_{depois}
\tag{4a}
$$

Isolando a razão entre as tensões de $(4a)$:

$$
\frac{S_{antes}}{S_{depois}}=\frac{V_{antes}}{V_{depois}}=K=\left|K\right|e^{j\theta}
\tag{4b}
$$

Através da equação $(4b)$, pode-se perceber que a potência varia proporcionalmente à variação de tensão, inclusive é importante salientar que o fator de potência da carga é mantido.

### 1.4 Resumo das cargas

Utilizando as analise anteriores, pode-se verificar graficamente para os três tipos de cargas, a relação entre tensão, corrente e potência normalizadas por unidade. Isto pode ser resumido através de 2 gráficos.

| $S\times V$ | $I\times V$ |
|:------------------------------------:|:------------------------------------:|
|  |  |

A partir do conhecimento dos modelos de cargas, a prática consistia na análise de tensão e corrente para os 3 modelos citados anteriormente. Primeiramente calcularemos os valores esperados teóricos.

## 2. Valores teóricos esperados

Utilizando as equações $(1), (2), (3)$ e $(4)$ e os dados obtidos nas práticas anteriores podemos completar as seguintes tabelas com dados esperados para a variação de tensão de acordo com o tipo de modelo de carga de cada componente.

#### Resistor de 100 Ohms

O resistor se comporta como uma carga de impedância constante, sendo assim, para calcular os valores de potência, usaremos a equação $(2b)$, e para corrente a equação $(3b)$, os valores estão descritos na tabela abaixo:

<center>

| Tensão(V) | 100 | 110 | 120 | 130 | 140 |
|:---------:| ------:| ------:| ------:| ------:| ------:|
| P(W) | 101,8 | 123,18 | 146,60 | 172,05 | 199,54 |
| Q(VAr) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| S(VA) | 129,29 | 142,22 | 155,15 | 168,08 | 181,01 |
| I(A) | 1,0 | 1,1 | 1,2 | 1,3 | 1,4 |
| FP | 1,00 | 1,00 | 1,00 | 1,00 | 1,00 |

</center>

Os gráficos estão representados abaixo:

| $S\times V$ | $I\times V$ |
|:------------------------------------:|:------------------------------------:|
| <img src="https://i.imgur.com/LHZhZ9t.png" width="480px"> | <img src="https://i.imgur.com/0M8JL6N.png" width="480px"> |

Espera-se que resistores tenham uma boa compatibilidade com modelos de carga de impedância constante já que não se espera que sua resistência se altere devido a variações de tensão próximas à operacional, sendo assim, é esperado uma relação quadrática na potência fornecida a este tipo de carga, para diferentes regiões de operação. Já para a corrente temos um aumento proporcional à tensão.

#### Motor Eberle

O motor deve se comportar como uma carga de potência constante, sendo assim, o seu valor nominal de potência aparente é mantido inalterado para diferentes valores de tensões de operação. Já para a corrente, podemos obter o seus valores teóricos esperados utilizando a equação $(1)$ e preencher a tabela abaixo:

<center>

| Tensão(V) | 100 | 110 | 120 | 130 | 140 |
|:---------:| ----:| ----:| ----:| ----:| ----:|
| P(W) | 51 | 51 | 51 | 51 | 51 |
| Q(VAr) | 63 | 63 | 63 | 63 | 63 |
| S(VA) | 80,6 | 80,6 | 80,6 | 80,6 | 80,6 |
| I(A) | 0,79 | 0,71 | 0,66 | 0,61 | 0,56 |
| FP | 0,63 | 0,63 | 0,63 | 0,63 | 0,63 |

</center>

Os gráficos estão representados abaixo:

| $S\times V$ | $I\times V$ |
|:------------------------------------:|:------------------------------------:|
| <img src="https://i.imgur.com/ejHSPoc.png" width="480px"> | <img src="https://i.imgur.com/udEwUi1.png" width="480px"> |

Espera-se que motores elétricos respeitem as curvas de carga de potência constante já que, de acordo com suas caracteristicas dinâmicas, eles precisam de mais corrente para realizar um mesmo trabalho com tensão inferior à de regime operacional.

#### Lâmpada LFC de 20W

Para este tipo de carga, é esperado um comportamento de corrente constante. Utilizando a equação $(4a)$ e $(4b)$, é possível preencher a tabela abaixo para diferentes pontos de operação:

<center>

| Tensão(V) | 100 | 110 | 120 | 130 | 140 |
|:---------:| -----:| -----:| -----:| -----:| -----:|
| P(W) | 17,64 | 19,40 | 21,16 | 22,93 | 24,69 |
| Q(VAr) | 23,46 | 25,81 | 28,16 | 30,50 | 32,85 |
| S(VA) | 29,50 | 32,40 | 35,34 | 38,28 | 41,23 |
| I(A) | 0,29 | 0,29 | 0,29 | 0,29 | 0,29 |
| FP | 0,60 | 0,60 | 0,60 | 0,60 | 0,60 |

</center>

Os gráficos estão representados abaixo:

| $S\times V$ | $I\times V$ |
|:------------------------------------:|:------------------------------------:|
| <img src="https://i.imgur.com/foGGHMJ.png" width="480px"> | <img src="https://i.imgur.com/SbrJwBE.png" width="480px"> |

Espera-se que Lâmpadas de LFC respeitem a curva de carga de corrente constante já que seu circuito de adaptação da energia de entrada para a energia de saída funciona regulando os parâmetros de entrada de forma a estabilizar esses fatores.

#### Cargas compostas

Com o objetivo de avaliar o efeito de uma rede de cargas compostas, foi escolhido um conjunto de cargas de acordo com a tabela a seguir:

<center>

| Equipes | Componentes em paralelo |
|:---------:|:----------------------------------------:|
| 2.1 e 4.1 | (02) Resistores de 100 ohms, motor e LFC |

</center>

O circuito proposto para avalização teórica de modelos de cargas compostos pode ser visto na imagem abaixo:

<center>


</center>

Utilizando as equações $(1)$, $(2a)$, $(2b)$, $(3a)$, $(3b)$, $(4a)$ e $(4b)$, pode-se expressar a potência total como a soma das potências individuais dos componentes:

$$
S_{composto}=2S_{100}+S_{LFC}+S_{Mn}
\tag{5a}
$$

De posse dos valores nominais dos equipamentos, a equação acima pode ser descrita em função da tensão de operação $V$:

$$
S_{composto}=2S_{100n}\left(\frac{V}{V_{n}}\right)^{2}+S_{LFCn}\left(\frac{V}{V_{n}}\right)+S_{Mn}
\tag{5b}
$$

De maneira simular, isso pode ser feito para a corrente total:

$$
I_{composto}=2I_{100n}\left(\frac{V}{V_{n}}\right)+I_{LFCn}+S_{Mn}\left(\frac{V}{V_{n}}\right)^{-1}
\tag{5c}
$$

Desta forma, $S_{composto} = f(V)$ e $I_{composto} = g(V)$. Esta primeira função é conhecida por modelar a carga do tipo ZIP, que considera uma carga com parcelas de cargas de impedância constante, corrente constante e potência constante. Geralmente este modelo é descrito por contribuições normalizadas com constantes $\alpha, \beta, \gamma$:

$$
S_{ZIP}=\alpha\left(\frac{V}{V_{n}}\right)^{2}+\beta\left(\frac{V}{V_{n}}\right)+\gamma
\tag{6a}
$$
$$
I_{ZIP}=\tau\left(\frac{V}{V_{n}}\right)+δ+\theta\left(\frac{V}{V_{n}}\right)^{-1}
\tag{6b}
$$

A tabela a seguir discrimina os valores para as principais grandezas deste modelo composto.

<center>

| Tensão(V) | 100 | 110 | 120 | 130 | 140 |
|:---------:| ------:| ------:| ------:| ------:| ------:|
| P(W) | 267,29 | 310,77 | 358,22 | 409,65 | 465,04 |
| Q(VAr) | 96,38 | 100,81 | 105,44 | 110,27 | 115,29 |
| S(VA) | 313,66 | 359,56 | 409,13 | 462,98 | 520,90 |
| I(A) | 3,08 | 3,21 | 3,34 | 3,50 | 3,65 |
| FP | 0,85 | 0,86 | 0,87 | 0,88 | 0,89 |

</center>

O fator de potência total médio está entre o fator de potência dos resistores e dos motores e lâmpadas, algo esperado. Nota-se também que o fator de potência está relativamente alto por conta da maior contribuição de potência ser dos resistores.

O módulo da corrente parece variar menos do seu valor nominal em relação a potência. Este comportamento, assim como o comportamento da potência podem ser vistos nos gráficos a seguir:

<center>

| $S\times V$ | $I\times V$ |
|:------------------------------------:|:------------------------------------:|
| <img src="https://i.imgur.com/VIa5B6y.png" width="480px"> | <img src="https://i.imgur.com/FY5Bzsm.png" width="480px"> |

</center>

Visualizando a curva de potência, percebemos que ela apresenta maior semelhança com um modelo de carga a impedância constante, já que podemos sugerir um comportamento próximo ao quadrático, isso se deve à maior contribuição resistiva.

Além disso, na curva de corrente, podemos ver seus valores mais comportados do que o de potência. O motivo para isso é que na equação $(6b)$ de corrente composta, não existe um termo quadrático como existe na potência composta $(6a)$ e há um termo de contribuição inversamente proporcional com a razão da tensão de operação e o seu valor nominal, esta parcela é devido às cargas de potência constante. Este é o motivo pelo qual a corrente composta na curva de corrente não é monotonamente crescente, como é a curva de potência.

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