# Leo
<!--
Referências
https://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/MA311/Aula15.pdf
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## 1. $a_n = \frac{1\times 3\times 5\times ... \times (2n-1)}{(2n-1)^n}$ converge?
$$
a_{n}=\frac{1\times3\times5\times...\times(2n-1)}{(2n-1)^{n}}
$$
Para uma sequência convergir $lim_{n\rightarrow \infty} a_n = 0$
$$
a_{n}=\frac{1\times3\times5\times...\times(2n-1)}{(2n-1)^{n}}=\overbrace{\underbrace{\frac{1\times3\times5\times...\times(2n-1)}{(2n-1)(2n-1)(2n-1)...(2n-1)}}_{\text{n vezes}}}^{\text{n vezes}}
$$
$$
= \underbrace{\frac{1}{(2n-1)}\times\frac{3}{(2n-1)}\times\frac{5}{(2n-1)}\times...\ \frac{(2n-1)}{(2n-1)}}_{\text{n vezes}}
$$
$$
lim_{n\to\infty}\underbrace{\frac{1}{(2n-1)}}_{<<1}\times\frac{3}{(2n-1)}\times\frac{5}{(2n-1)}\times...\ \frac{(2n-1)}{(2n-1)}=\prod_{k=1}^{n-1}\frac{2k-1}{2n-1}
$$
$$
lim_{n\to\infty}a_{n}=\prod_{k=1}^{n-1}\frac{2k-1}{2n-1}=0
$$
:::success
A série é convergente.
:::
Veja com seus próprios olhos:
https://www.desmos.com/calculator/qzmycr2tdo
## 2. A série $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{2n}\left(2n+3\right)!}{3^{3n}\left(3n+2\right)!}$ converge?
Será utilizado o teste da razão em que
$$
lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=L
$$
Em que $L$ é um número não negativo ou infinito
- $L < 1$: $\sum a_n$ é absolutamente convergente
- $L > 1$: $\sum a_n$ diverge
- $L = 1$: Nada pode-se afirmar
$$
a_n = \frac{2^{2n}\left(2n+3\right)!}{3^{3n}\left(3n+2\right)!}
$$
$$
lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{2^{2\left(n+1\right)}\left(2\left(n+1\right)+3\right)!}{3^{3\left(n+1\right)}\left(3\left(n+1\right)+2\right)!}}{\frac{2^{2n}\left(2n+3\right)!}{3^{3n}\left(3n+2\right)!}}\right|=lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{2^{2n+2}\left(2n+5\right)!}{3^{3n+3}\left(3n+5\right)!}}{\frac{2^{2n}\left(2n+3\right)!}{3^{3n}\left(3n+2\right)!}}\right|
$$
$$
=lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{2^{2}}{3^{3}}\frac{2^{2n}\left(2n+5\right)\left(2n+4\right)\left(2n+3\right)!}{3^{3n}\left(3n+5\right)\left(3n+4\right)\left(3n+3\right)\left(3n+2\right)!}}{\frac{2^{2n}\left(2n+3\right)!}{3^{3n}\left(3n+2\right)!}}\right|=lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{2^{2}}{3^{3}}\frac{2^{2n}\left(2n+5\right)\left(2n+4\right)\left(2n+3\right)!}{3^{3n}\left(3n+5\right)\left(3n+4\right)\left(3n+3\right)\left(3n+2\right)!}}{\frac{2^{2n}\left(2n+3\right)!}{3^{3n}\left(3n+2\right)!}}\right|
$$
$$
lim_{n\to\infty}\left|\frac{4}{9}\frac{\left(2n+5\right)\left(2n+4\right)}{\left(3n+5\right)\left(3n+4\right)\left(3n+3\right)}\right|=0
$$
:::success
$L<1$ Série converge
:::
E converge bem rápido!! Veja
https://www.desmos.com/calculator/wn8qsnoodb
## 3. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\cos\left(n^{2}\right)}{\left(n^{2}+1\right)^{2}}$ converge?
Sabendo que $\left|\cos\left(n^{2}\right)\right| < 1$ verifica-se se $a_n$ é absolutamente convergente:
$$
\frac{n\left|\cos\left(n^{2}\right)\right|}{\left(n^{2}+1\right)^{2}}\le\frac{n}{\left(n^{2}+1\right)^{2}}
$$
Se $a_n$ for absolutamente convergente ela é convergente. (O contrário pode não ser válido)
$$
lim_{n\to\infty}\frac{n}{\left(n^{2}+1\right)^{2}}=0
$$
:::success
Série é convergente
:::
Veja: https://www.desmos.com/calculator/kumoxro3w0
## 4. Onde a série $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}x^{2n}}{2n+1}$ converge?
Será aplicado o teste da razão para saber para quais valores de x a série converge
$$
a_n=\frac{\left(-1\right)^{n}x^{2n}}{2n+1}
$$
$$
lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=L
$$
Em que $L$ é um número não negativo ou infinito
- $L < 1$: $\sum a_n$ é absolutamente convergente
- $L > 1$: $\sum a_n$ diverge
- $L = 1$: Nada pode-se afirmar
$$
lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{\left(-1\right)^{n+1}x^{2\left(n+1\right)}}{2\left(n+1\right)+1}}{\frac{\left(-1\right)^{n}x^{2n}}{2n+1}}\right|=lim_{n\to\infty}\left|\left(-1\right)x^{2}\frac{\frac{\left(-1\right)^{n}x^{2n}}{2n+3}}{\frac{\left(-1\right)^{n}x^{2n}}{2n+1}}\right|
$$
$$
lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=lim_{n\to\infty}\left|\left(-1\right)x^{2}\right|\cdot \cancelto{1}{lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{\left(-1\right)^{n}x^{2n}}{2n+3}}{\frac{\left(-1\right)^{n}x^{2n}}{2n+1}}\right|}=\left|x^{2}\right|<1
$$
A série converge para:
$$
|x| < 1
$$
- Série de potências tem raio 1 de convergência e é centrada em 0
- Intervalo de convergência $x\in ]-1,1[$
Veja o invervalo de convegência:
https://www.desmos.com/calculator/hckauk8iqs
## 5. $f(x) = e^{-x^2}$
### a) Encontrar a série de Maclaurin de $f\left(x\right)=e^{-x^{2}}$
Partindo da série de Maclaurin da exponencial:
$$
e^{u}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^{n}}{n!}
$$
Substituindo $u=-x^2$
$$
e^{-x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-x^{2}\right)^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}x^{2n}}{n!}
$$
:::success
$$
e^{-x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}x^{2n}}{n!}
$$
:::
## b) Aproximação para $\int_0^1 f(x) dx$ com erro menor que 0,25
Usando a série do polinomio de taylor truncado
$$
e^{u}=\sum_{n=0}^{k}\frac{u^{n}}{n!}+e^{c_{u}}\frac{u^{k+1}}{\left(k+1\right)!}
$$
Escrevendo como parte truncada e parte do resto de lagrange:
$$
e^{u}=P_{k}\left(u\right)+R_{k}\left(u\right)
$$
$$
\int_{0}^{1}e^{-x^{2}}=\int_{0}^{1}P_{k}\left(-x^{2}\right)dx+\int_{0}^{1}R_{k}\left(-x^{2}\right)dx
$$
E calcula-se o erro
$$
e_{rro}=\left|\int_{0}^{1}e^{-x^{2}}dx-\int_{0}^{1}P_{k}\left(-x^{2}\right)dx\right|=\left|\int_{0}^{1}R_{k}\left(-x^{2}\right)dx\right|
$$
$$
=\left|\int_{0}^{1}e^{c_{x}}\frac{\left(-x^{2}\right)^{k+1}}{\left(k+1\right)!}dx\right|
$$
Usando desigualdade $\left|\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\right|\le\int_{a}^{b}\left|f\left(x\right)\right|dx$
$$
e_{rro}=\left|\int_{0}^{1}e^{c_{x}}\frac{\left(-x^{2}\right)^{k+1}}{\left(k+1\right)!}dx\right|\le\int_{0}^{1}\left|e^{c_{x}}\right|\frac{x^{2k+2}}{\left(k+1\right)!}dx<\int_{0}^{1}\frac{x^{2k+2}}{\left(k+1\right)!}dx
$$
OBS: Pelo Teorema de Weierstrass e observando os limites de integração:
$$
\left|e^{c_{x}}\right|\le 1\
$$
Assim, calcula-se finalmente o erro:
$$
e_{rro}=\int_{0}^{1}\frac{x^{2k+2}}{\left(k+1\right)!}dx=\frac{1}{\left(2k+3\right)\left(k+1\right)!}
$$
$$
e_{rro}=\frac{1}{\left(2k+3\right)\left(k+1\right)!}<0.25
$$
Para isso ser verdade, temos que
$$
\left(2k+3\right)\left(k+1\right)!>4
$$
Isso é possível para $k\ge 1$
Assim, integramos termo a termo resultado do item a)
$$
\int_0^1 e^{-x^{2}} dx = \int_0^1 \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}x^{2n}}{n!} dx = \sum_{n=0}^{\infty}\int_0^1 \frac{\left(-1\right)^{n}x^{2n}}{n!}
$$
Somando até k=1
$$
\int_0^1 e^{-x^{2}} dx = \sum_{n=0}^{k}\int_{0}^{1}\frac{\left(-1\right)^{n}x^{2n}}{n!}dx=\sum_{n=0}^{1}\frac{\left(-1\right)^{n}}{\left(2n+1\right)\cdot n!}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} = 0.666...
$$
:::success
$$
\int_0^1 e^{-x^{2}} dx \approx 0.666...
$$
Com erro menor que 0.25
:::
O valor real é:
Veja https://www.desmos.com/calculator/gn1hfsckx8
## 6.
### a. Encontre série de fourier de $f(x)$
$$
f(x) =
\begin{cases}
1, & -\pi \le x \le -\frac{\pi}{2} \\
2, & -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} \\
1, & \frac{\pi}{2} \le x \le \pi
\end{cases}
f(x+2\pi)=f(x)
$$
Primeiramente encontra-se o termo $a_0$:
$$
a_{0}=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f\left(t\right)dt =
$$
$$
=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(t\right)dt=\frac{1}{2\pi}2\left(\int_{-\pi}^{-\frac{\pi}{2}}1dt+\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0}2dt\right)
$$
$$
=\frac{1}{\pi}\left(\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi}{2}\right)=\frac{3}{2}=1.5
$$
Agora o termo $a_n$:
$$
a_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f\left(t\right)\cos\left(\frac{2\pi nt}{T}\right)dt = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(t\right)\cos\left(nt\right)dt
$$
$$
=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(t\right)\cos\left(nt\right)dt=\frac{1}{\pi}\left(\int_{-\pi}^{-\frac{\pi}{2}}1\cos\left(nt\right)dt+\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}2\cos\left(nt\right)dt+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}1\cos\left(nt\right)dt\right)
$$
$$
=\frac{1}{\pi}\left(\frac{-\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)+\sin\left(n\pi\right)}{n}+2\cdot\frac{\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)+\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}+\frac{\sin\left(n\pi\right)-\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}\right)
$$
$$
=\frac{1}{\pi}\left(\frac{-\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}+\frac{4\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}+\frac{-\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}\right)=\frac{2\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n\pi}
$$
$$
a_n=\frac{2\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n\pi}
$$
Como a função é par, não há termos de $b_n$. Dessa forma a série de Fourier de $f(x)$ é:
$$
f\left(t\right)\approx a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos\left(nt\right)
$$
$$
f(t)\approx\frac{3}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)\cos\left(nt\right)}{n\pi}
$$
https://www.desmos.com/calculator/lrbtn0xdty
### b. Mostre que $\frac{\pi}{4}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{2n-1}$
Pelo teorema fundamental do cálculo
$$
\frac{\pi}{4}=\arctan\left(1\right)=\int_{0}^{1}\frac{d\left(\arctan\left(x\right)\right)}{du}dx=
$$
$$
=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}dx=\int_{0}^{1}\frac{1}{1-u\left(x\right)}dx=\int_{0}^{1}\sum_{n=0}^{\infty}\left(u\left(x\right)\right)^{n}dx
$$
$$
=\int_{0}^{1}\sum_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^{n}x^{2n}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{1}\left(-1\right)^{n}x^{2n}dx
$$
$$
=\left.\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}x^{2n}}{2n+1}\right\rvert_{x=0}^{x=1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}}{2n+1}
$$
Fazendo a série começar em $n=1$ no somatório, após ajustar os índices, temos:
:::success
$$
\frac{\pi}{4}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{2n-1} \space \text{C.Q.D.}
$$
:::
### c.
Usando que $\frac{\pi}{4} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{2n-1}$
Da mesma forma que foi feito na questão anterior, aproximando o valor por um resto de Lagrange:
$$
\frac{\pi}{4}\approx\sum_{n=1}^{k}\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{2n-1}+R_{k}\left(n\right)
$$
$$
e_{rro}=\left|\frac{\pi}{4}-\sum_{n=1}^{k}\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{2n-1}\right|=\left|M\frac{\left(-1\right)^{k}}{2k+1}\right|=\frac{0.5}{2k+1}<0.01
$$
$$
50<2k+1 \implies k>24
$$
Veja https://www.desmos.com/calculator/iqt4lvxtkz
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