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# System prepended metadata

title: Atividades Kirchoff
tags: [Materiais]

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# Atividades Kirchoff

Em cada circuito, separei malha da esquerda e malha da direita. As correntes de malha são $i_1$ e $i_2$ respectivamente, ambas definidas no sentido horário. As análises das quedas de tensão serão feitas no sentido horário também, sempre começando do ponto localizado no "vértice" inferior esquerdo da malha. 

> No último exemplo a corrente de malha $i_3$ será referida pela "malha superior".

## Circuito 1

![](https://i.imgur.com/OVk4wWd.png)

### Malha da esquerda:

$$
\begin{align}
12-1000i_{1}-1000\left(i_{1}-i_{2}\right)=0\\
-2000i_{1}+1000i_{2}=-12
\end{align}
$$

### Malha da direita:

$$
\begin{align}
-1000\left(i_{2}-i_{1}\right)-1000i_{2}-5=0\\
1000i_{1}-2000i_{2}=5
\end{align}
$$

### Resolvendo o sistema de equações:

#### Isolando $i_1$:

$$
\begin{align}
-2000i_1+1000i_2=-12\\
-2000i_1+1000i_2+(-1000i_2)=-12+(-1000i_2)\\
-2000i_1=-1000i_2-12\\
i_1=\frac{i_2}{2}+\frac{3}{500}
\end{align}
$$

#### Substituindo $i_1$ na outra equação:

$$
\begin{align}
1000(\frac{1}{2}\cdot i_2+\frac{3}{500})-2000i_2=5\\
-1500i_2+6=5\\
-1500i_2+6+(-6)=5+(-6)\\
-1500i_2=-1\\
i_2=\frac{1}{1500}\\
= 0.000666666666667 A
\end{align}
$$

#### Usando $i_2$ e encontrando valor de $i_1$:

$$
\begin{align}
i_1=\frac{i_2}{2}+\frac{3}{500}\\
i_1=\frac{1}{3000}+\frac{3}{500}\\
i_1=\frac{19}{3000}\\
=0.00633333333333A
\end{align}
$$

#### Calculando a corrente do ramo intermediário:
$$
\begin{align}
i_{m}=i_{1}-i_{2}=\frac{19}{3000}-\frac{1}{1500}\\
= 0.00566666666667 A
\end{align}
$$

:::success
As correntes dos amperímetros são:
- $i_1 = 6.333mA$
- $i_2 = 0.667mA$
- $i_m = 5.667mA$
:::

## Circuito 2

![](https://i.imgur.com/3Cm98UM.png)


### Malha da esquerda:

$$
\begin{align}
5-1000i_{1}-1000\left(i_{1}-i_{2}\right)-1000i_{1}=0\\
-3000i_{1}+1000i_{2}=-5
\end{align}
$$

### Malha da direita:

$$
\begin{align}
-1000\left(i_{2}-i_{1}\right)-2000i_{2}-12=0\\1000i_{1}-3000i_{2}=12
\end{align}
$$

### Resolvendo o sistema de equações:

#### Isolando $i_1$:

$$
\begin{align}
-3000i_1+1000i_2=-5\\
-3000i_1=-1000i_2-5\\
\frac{-3000i_1}{-3000}=\frac{-1000i_2-5}{-3000}\\i_1=\frac{i_2}{3}+\frac{1}{600}
\end{align}
$$

#### Substituindo $i_1$ na outra equação:

$$
\begin{align}
1000(\frac{1}{3}\cdot i_2+\frac{1}{600})-3000i_2=12\\
-\frac{8000}{3}i_2+\frac{5}{3}=12\\
-\frac{8000}{3}i_2+\frac{5}{3}+(-\frac{5}{3})=12+(-\frac{5}{3})\\
-\frac{8000}{3}i_2=\frac{31}{3}\\
i_2=-\frac{31}{8000}\\
i_2 = -3.875mA
\end{align}
$$

#### Usando $i_2$ e encontrando valor de $i_1$:

$$
\begin{align}
i_1=\frac{i_2}{3}+\frac{1}{600}\\
i_1=\frac{i_2}{3}+\frac{1}{600}\\i_1=\frac{3}{8000}\\
i_1=0.375mA
\end{align}
$$

#### Calculando a corrente do ramo intermediário:
$$
\begin{align}
i_{m}=i_{1}-i_{2}=\frac{19}{3000}-\frac{1}{1500}\\
= 4.25m A
\end{align}
$$

:::success
As correntes dos amperímetros são:
- $i_1 = 0.375mA$
- $i_2 = -3.875mA$
- $i_m = 4.25mA$
:::

## Circuito 3

![](https://i.imgur.com/4wABKVv.png)


### Malha da esquerda:

$$
\begin{align}
5-1000i_1-3000\left(i_1-i_2\right)-12=0\\
-4000i_1+3000i_2=7
\end{align}
$$

### Malha da direita:

$$
\begin{align}
12-3000\left(i_2-i_1\right)-2000i_2-5=0\\
3000i_1-5000i_2=-7
\end{align}
$$

### Resolvendo o sistema de equações:

#### Isolando $i_1$:

$$
\begin{align}
-4000i_1+3000i_2=7\\
-4000i_1=-3000i_2+7\\
i_1=\frac{3}{4}i_2-\frac{7}{4000}\\
\end{align}
$$

#### Substituindo $i_1$ na outra equação:

$$
\begin{align}
3000(\frac{3}{4}\cdot i_2-\frac{7}{4000})-5000i_2=-7\\
-2750i_2=-\frac{7}{4}\\
-2750i_2-\frac{21}{4}+(\frac{21}{4})=-7+(\frac{21}{4})\\
-2750i_2=-\frac{7}{4}\\
\frac{-2750i_2}{-2750}=\frac{-\frac{7}{4}}{-2750}\\
i_2=\frac{7}{11000}
\end{align}
$$

#### Usando $i_2$ e encontrando valor de $i_1$:

$$
\begin{align}
i_1=\frac{3}{4}i_2-\frac{7}{4000}\\
i_1=\frac{21}{44000}-\frac{7}{4000}\\
i_1=-\frac{7}{5500}
\end{align}
$$

#### Calculando a corrente do ramo intermediário:
$$
\begin{align}
i_{m}=i_{1}-i_{2}=\frac{19}{3000}-\frac{1}{1500}\\
= −0.0133636363636 A
\end{align}
$$

:::success
As correntes dos amperímetros são:
- $i_1 = −1.273mA$ 
- $i_2 = 0.636mA$ 
- $i_m = −1.909mA$ 
:::

## Circuito 4

![](https://i.imgur.com/QXRzd5P.png)


### Malha da esquerda:

$$
\begin{align}
12-2000i_1-5100\left(i_1-i_2\right)-5-1000i_1=0\\
-8100i_1+5100i_2=-7
\end{align}
$$

### Malha da direita:

$$
\begin{align}
5-5100\left(i_2-i_1\right)-7300i_2-12=0\\
5100i_1-12400i_2=7
\end{align}
$$

### Resolvendo o sistema de equações:

#### Isolando $i_1$:

$$
\begin{align}
-8100i_1+5100i_2=-7\\
-8100i_1=-5100i_2-7\\
i_1=\frac{17}{27}i_2+\frac{7}{8100}\\
\end{align}
$$

#### Substituindo $i_1$ na outra equação:

$$
\begin{align}
5100(\frac{17}{27}\cdot i_2+\frac{7}{8100})-12400i_2=7\\
-\frac{82700}{9}i_2+\frac{119}{27}=7\\
-\frac{82700}{9}i_2=\frac{70}{27}\\
i_2=-\frac{7}{24810}
\end{align}
$$

#### Usando $i_2$ e encontrando valor de $i_1$:

$$
\begin{align}
i_1=\frac{17}{27}i_2+\frac{7}{8100}\\
i_1=-\frac{119}{669870}+\frac{7}{8100}\\
i_1=\frac{511}{744300}
\end{align}
$$

#### Calculando a corrente do ramo intermediário:
$$
\begin{align}
i_{m}=i_{1}-i_{2}=0.000968695418514 A
\end{align}
$$

:::success
As correntes dos amperímetros são:
- $i_1 = 0.687mA$ 
- $i_2 = −0.282mA$ 
- $i_m = 0.969mA$ 
:::

## Circuito 5

![](https://i.imgur.com/SDT7Cdy.png)

### Malha da esquerda:

$$
\begin{align}
12-9000i_1+6000i_2-5=0\\
-9000i_1+6000i_2=-7
\end{align}
$$

### Malha da direita:

$$
\begin{align}
5-9000i_2+6000i_2-12=0\\
6000i_1-9000i_2=7
\end{align}
$$

### Resolvendo o sistema de equações:

#### Isolando $i_1$:

$$
\begin{align}
-9000i_1+6000i_2=-7\\
-9000i_1=-6000i_2-7\\
i_1=\frac{2}{3}i_2+\frac{7}{9000}\\
\end{align}
$$

#### Substituindo $i_1$ na outra equação:

$$
\begin{align}
6000(\frac{2}{3}\cdot i_2+\frac{7}{9000})-9000i_2=7\\
-5000i_2+\frac{14}{3}=7\\
-5000i_2+\frac{14}{3}+(-\frac{14}{3})=7+(-\frac{14}{3})\\
-5000i_2=\frac{7}{3}\\
i_2=-\frac{7}{15000}\\
\end{align}
$$

#### Usando $i_2$ e encontrando valor de $i_1$:

$$
\begin{align}
i_1=\frac{2}{3}i_2+\frac{7}{9000}\\
i_1=-\frac{7}{22500}+\frac{7}{9000}\\
i_1=\frac{7}{15000}
\end{align}
$$

#### Calculando a corrente do ramo intermediário:
$$
\begin{align}
i_{m}=i_{1}-i_{2}=0.933mA
\end{align}
$$

:::success
As correntes dos amperímetros são:
- $i_1 = 0.467mA$ 
- $i_2 = -0.467mA$ 
- $i_m = 0.933mA$ 
:::

## Circuito 6

![](https://i.imgur.com/inrHKWa.png)

### Malha da esquerda:

$$
\begin{align}
12-5-10000i_1+6000i_2+1000i_3=0\\
-10000i_1+6000i_2+1000i_3=-7
\end{align}
$$

### Malha da direita:

$$
\begin{align}
5-12-9000i_2+6000i_1+2000i_3=0\\
-9000i_2+6000i_1+2000i_3=7
\end{align}
$$

### Malha superior:

$$
\begin{align}
-4000i_3+1000i_1+2000i_2=0\\
-4i_3+i_1+2i_2=0
\end{align}
$$

### Resolvendo o sistema de equações:

#### Isolando $i_3$ da segunda equação:

$$
\begin{align}
6000i_1-9000i_2+2000i_3=7\\
2000i_3=7-6000i_1+9000i_2\\
i_3=\frac{7}{2000}-3i_1+\frac{9}{2}i_2\\
\end{align}
$$

#### Substituindo $i_3$ na primeira equação:

$$
\begin{align}
-10000i_1+6000i_2+1000(\frac{7}{2000}-3\cdot i_1+\frac{9}{2}\cdot i_2)=-7\\
\frac{7}{2}-13000i_1+10500i_2=-7
\end{align}
$$

#### Substituindo $i_3$ na terceira equação:

$$
\begin{align}
-4(\frac{7}{2000}-3\cdot i_1+\frac{9}{2}\cdot i_2)+i_1+2i_2=0\\
-\frac{7}{500}+13i_1-16i_2=0\\
\end{align}
$$

#### Isolando $i_2$ do resultado parcial da equação 1:

$$
\begin{align}
\frac{7}{2}-13000i_1+10500i_2=-7\\
13000i_1+10500i_2=-\frac{21}{2}\\
10500i_2=13000i_1-\frac{21}{2}\\
\frac{10500i_2}{10500}=\frac{13000i_1-\frac{21}{2}}{10500}\\
i_2=\frac{26}{21}i_1-\frac{1}{1000}
\end{align}
$$

#### Substituindo $i_2$ na equação parcial 2:

$$
\begin{align}
-\frac{7}{500}+13\cdot i_1-16(\frac{26}{21}\cdot i_1-\frac{1}{1000})=0\\
-\frac{143}{21}i_1+\frac{1}{500}=0\\
\frac{-\frac{143}{21}i_1}{-143/21}=\frac{-\frac{1}{500}}{-143/21}\\
i_1=\frac{21}{71500}
\end{align}
$$

#### Usando $i_2$ e encontrando valor de $i_1$:

$$
\begin{align}
i_2=\frac{26}{21}i_1-\frac{1}{1000}\\
i_2=\frac{26}{21}\cdot(\frac{21}{71500})-\frac{1}{1000}\\
i_2=-\frac{7}{11000}
\end{align}
$$

#### Usando os valores de $i_1$ e $i_2$:

$$
\begin{align}
i_3=\frac{7}{2000}-3i_1+\frac{9}{2}i_2\\
i_3=\frac{7}{2000}-3(\frac{21}{71500})+\frac{9}{2}(-\frac{7}{11000})\\
i_3=-\frac{7}{28600}
\end{align}
$$

#### Calculando a corrente do ramo intermediário vertical:
$$
\begin{align}
i_{mv}=i_{1}-i_{2}= 0.930mA
\end{align}
$$

#### Calculando a corrente do ramo intermediário horizontal:
$$
\begin{align}
i_{mv}=i_{2}-i_{3}= −0.392mA
\end{align}
$$

:::success
As correntes dos amperímetros são:
- $i_1 = 0.294mA$ 
- $i_3 = −0.245mA$
- $i_{mv} = 0.930mA$ 
- $i_{mh} = −0.392mA$
:::

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