# Circuitos RC, RL, LC, RLC


no instante em que a chave é fechada, pela lei de kich:

$v(t)-Ri(t)-\frac{1}{C}\int{i(t)dt}=0$
$\frac{d}{dt}v(t)=0$ tensão constante
derivando a equacao toda
$\frac{d}{dt}i(t)+\frac{1}{RC}i(t)=0$
Multiplicando tudo por $e^{\frac{t}{RC}}$
$\frac{d}{dt}(i(t))e^{\frac{t}{RC}}+\frac{1}{RC}i(t)e^{\frac{t}{RC}}=0$
$\frac{d}{dt}(i(t)\times e^{\frac{t}{RC}})=0$
$\int{\frac{d}{dt}(i(t)\times e^{\frac{t}{RC}})}=\int0$
$i(t)\times e^{\frac{t}{RC}}=C$
$i(t)=Ce^{-\frac{t}{RC}}$
$i(0)=Ce^{-\frac{0}{RC}}=C=I_{0}$
Sabendo a tensão inicial, podemos obter a corrente inicial
$I_0=\frac{V_{s}-V_0}{R}$
E considerando que o capacitor está descarregado, $V_0=0$ podemos escrever a corrente como:

$i(t)=\frac{V_s}{R}\times e^{-\frac{t}{RC}}$

e o gráfico é esse ai:


gráfico veio dai:

https://www.desmos.com/calculator/6b38doowdy

comportamento esperado, capacitor é carregado até atingir a tensão da fonte, e ai a corrente cessa

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usando kirch

$-V_s+Ri(t)+L\frac{di(t)}{dt}=0$
isolando e dividindo por L
$\frac{di(t)}{dt}+\frac{R}{L}i(t)=\frac{V_s}{L}$
multiplicando por $e^{\frac{R}{L}t}$
$\frac{di(t)}{dt}e^{\frac{R}{L}t}+\frac{R}{L}i(t)e^{\frac{R}{L}t}=\frac{V_s}{L}e^{\frac{R}{L}t}$
$\frac{d}{dt}(i(t)\times e^{\frac{R}{L}t})=\frac{V_s}{L}e^{\frac{R}{L}t}$
integrando dos dois lados:
$\int{\frac{d}{dt}(i(t)\times e^{\frac{R}{L}t})}=\int{\frac{V_s}{L}e^{\frac{R}{L}t}}$
$i(t)\times e^{\frac{R}{L}t}=\frac{V_s}{L}\times \frac{L}{R}e^{\frac{R}{L}t}+C$
$i(t)=\frac{\frac{V_s}{L}\times \frac{L}{R}e^{\frac{R}{L}t}+C}{e^{\frac{R}{L}t}}$
$i(t)=\frac{V_s}{R}+Ce^{-\frac{R}{L}t}$
Calculando $i(0)$, temos:
$i(0)=\frac{V_s}{R}+Ce^{-\frac{R}{L}0}=\frac{V_s}{R}+C=I_{0}$
calculando a corrente num tempo mt grande
$\lim_{t\rightarrow \infty}i(t)=\lim_{t\rightarrow \infty}i(t)=\frac{V_s}{R}+Ce^{-\frac{R}{L}t}=\frac{V_s}{R}$
Podemos observar que para muito tempo o indutor se comporta como um fio, não oferecendo nenhuma oposição a passagem de corrente, pois a corrente total é obtida como se somente tivesse o resistor ali

$i(t)=\frac{V_s}{R}+Ce^{-\frac{R}{L}t}$
$i(t)=\frac{V_s}{R}+(I_0-\frac{V_s}{R})e^{-\frac{R}{L}t}$

Nesse caso, como o indutor não tinha nenhuma corrente em $t=0$, temos que $I_0=0$, logo:

$i(t)=\frac{V_s}{R}+(I_0-\frac{V_s}{R})e^{-\frac{R}{L}t}=\frac{V_s}{R}-\frac{V_s}{R}e^{-\frac{R}{L}t}$
$i(t)=\frac{V_s}{R}-\frac{V_s}{R}e^{-\frac{R}{L}t}$


o gráfico disso bate certinho com a teoria, corente é 0 no começo, depois ela vai pra um valor V/R

link ai:

https://www.desmos.com/calculator/q7xtm8j6r2

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Vou fazer o circuito LC livre, sem fonte, pq o capacitor tende a ficar com a tensão da fonte, e o indutor com toda a corrente kkkkk na vdd vai rolar um curto pq até do exemplo anterior, depois de algum tempo o indutor se comporta como um fio (após ele ter armazenado energia em forma de campo magnético) então vou fazer LC sem fonte, mas o capacitor tá carregado inicialmente com uma tensão


aplicando kirshocf temos:

$v_{L}+v_{C}=0$

$L\frac{di(t)}{dt}+\frac{1}{C}\int{i(t)dt}=0$
derivando e dividindo tudo por L:
$\frac{d^2i(t)}{dt^2}+\frac{1}{LC}i(t)=0$

Supondo $i(t)=A_1cos(wt)+A_2sen(wt)$

$\frac{d^2}{dt^2}(Acos(wt))+\frac{1}{LC}(Acos(wt))=0$

$-w^2Acos(wt)+\frac{1}{LC}Acos(wt)=0$

> O mesmo vale para a parcela do $sin(wt)$, não coloquei ai, mas chegamos nisso ai tb

Para a equação ser verdade:

$w=\sqrt\frac{1}{LC}$

Logo:

$i(t)=A_1cos(wt)+A_2sen(wt)$
$i(0)=0=A_1cos(0)+A_2sen(0)$
$A_1=0$

A corrente no capacitor, pode ser encontrada como:

$v_L(t)=L\frac{di(t)}{dt}=-v_c(t)$
$v_L(t)=L\frac{d}{dt}(0+A_2sen(wt))$
$v_L(t)=L\times w\times A_2cos(0)$
$L\times w\times A_2cos(0)=V_0$
$L\times \sqrt\frac{1}{LC}\times A_2=V_0$
$\sqrt\frac{L^2}{LC}\times A_2=V_0$
$A_2=\sqrt\frac{C}{L}\times V_0$

Logo:

$i(t)=\sqrt\frac{C}{L}\space V_0sen(\sqrt\frac{1}{LC}t)$


Comportamento oscilatório, quando o capacitor incialmente carregado, a corrente no circuito começa a crescer e carregar o indutor, e por ai vai ... um negocio oscilatório.

link do gráfico:
https://www.desmos.com/calculator/sg1rabecdb

simulação do circuito:
https://tinyurl.com/yy96jfbr

abra a chave pra ver a bagaceira acontecendo

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o anterior lembra um oscilador e sempre a corrente vai ficar oscilando, contudo na prática sempre existe uma resistência associado à resistividade ao fio e tals, então o circuito a seguir é um modelo mais próximo do mundo prático kkk. Vou considerar tb sem fonte, capacitor carregado


por kirchoff:

$L\frac{di\left(t\right)}{dt}+Ri\left(t\right)+\frac{1}{C}\int_{ }^{ }i\left(t\right)=0$

derivando tudo

$L\frac{d^{2}i\left(t\right)}{dt^{2}}+R\frac{di\left(t\right)}{dt}+\frac{1}{C}i\left(t\right)=0$

dividindo tudo por L

$\frac{d^{2}i\left(t\right)}{dt^{2}}+\frac{R}{L}\frac{di\left(t\right)}{dt}+\frac{1}{LC}i\left(t\right)=0$

Supondo como solução:

$i\left(t\right)=Ae^{\lambda t}$

temos então:

$\frac{d^{2}}{dt^{2}}\left(Ae^{\lambda t}\right)+\frac{R}{L}\frac{di}{dt}\left(Ae^{\lambda t}\right)+\frac{1}{LC}\left(Ae^{\lambda t}\right)=0$

$\lambda^{2}Ae^{\lambda t}+\frac{R}{L}\lambda Ae^{\lambda t}+\frac{1}{LC}Ae^{\lambda t}=0$

$\left(\lambda^{2}+\frac{R}{L}\lambda+\frac{1}{LC}\right)Ae^{\lambda t}=0$

$\lambda^{2}+\frac{R}{L}\lambda+\frac{1}{LC}=0$

podemos resolver com baskara:

$\lambda=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$\lambda=-\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$

Como $a=1$ podemos escrever:

$\lambda=-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^{2}-c}$

e substituindo os coeficientes:

$\lambda=-\frac{R}{2L}\pm\sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^{2}-\frac{1}{LC}}$

define-se então, fator de amortecimento, conhecida como

$\alpha=\frac{R}{2L}$

assim também, define-se a frequência natural

$w_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}$. logo a solução pode ser encontrada como:

$\lambda=-\alpha\pm\sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}}$

Sabemos que existem 3 possibilidades para solução desta equação, contudo, vamos considerar que

$\alpha<\omega_0$

é um amortecimento subcrítico, necessariamente vai aparecer complexos no jogo:

$\lambda=Re\left(\lambda\right)\pm j\ Im\left(\lambda\right)$

$Re\left(\lambda\right)=-\alpha=-\frac{R}{2L}$

e a parte imaginária é

$Im(\lambda)=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}}$
$Im(\lambda)=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}$

Logo, supondo a solução desta forma:
$i\left(t\right)=C_{1}e^{\lambda_{1}t}+C_{2}e^{\lambda_{2}t}$

$i\left(t\right)=C_{1}e^{\left(Re\left\{\lambda_{1}\right\}+Im\left(\lambda_{1}\right)\right)t}+C_{2}e^{\left(Re\left\{\lambda_{2}\right\}+Im\left(\lambda_{2}\right)\right)t}$

Sabendo que:

$Im\left(\lambda_{1}\right)=-Im\left(\lambda_{2}\right),\ Re\left\{\lambda_{1}\right\}=Re\left\{\lambda_{2}\right\}$

podemos escrever tudo em função de $\lambda_{1}$

$i\left(t\right)=C_{1}e^{\left(Re\left\{\lambda_{1}\right\}+iIm\left\{\lambda_{1}\right\}\right)t}+C_{2}e^{\left(Re\left\{\lambda_{1}\right\}-iIm\left(\lambda_{1}\right)\right)t}$

$i\left(t\right)=C_{1}e^{Re\left\{\lambda_{1}\right\}t}\cdot e^{iIm\left\{\lambda_{1}\right\}t}+C_{2}e^{Re\left\{\lambda_{1}\right\}t}\cdot e^{-iIm\left\{\lambda_{1}\right\}t}$

$i\left(t\right)=e^{Re\left\{\lambda_{1}\right\}t}\left(C_{1}e^{iIm\left\{\lambda_{1}\right\}t}+C_{2}e^{-iIm\left\{\lambda_{1}\right\}t}\right)$

Usando a fórmula de Euler:

$i\left(t\right)=e^{Re\left\{\lambda_{1}\right\}t}\left(C_{1}\left(\cos\left(Im\left\{\lambda_{1}\right\}t\right)+isen\left(Im\left\{\lambda_{1}\right\}t\right)\right)+C_{2}\left(\cos\left(Im\left\{\lambda_{1}\right\}t\right)-isen\left(Im\left\{\lambda_{1}\right\}t\right)\right)\right)$

Agrupando os termos iguais:

$i\left(t\right)=e^{Re\left\{\lambda_{1}\right\}t}\left(\left(C_{1}+C_{2}\right)\cos\left(Im\left\{\lambda_{1}\right\}t\right)+i\left(C_{1}-C_{2}\right)sen\left(Im\left\{\lambda_{1}\right\}t\right)\right)$

Atribuindo novas constantes

$i\left(t\right)=e^{Re\left\{\lambda_{1}\right\}t}\left(A_{1}\cos\left(Im\left\{\lambda_{1}\right\}t\right)+A_{2}sen\left(Im\left\{\lambda_{1}\right\}t\right)\right)$

Vamos agora encontrar $A_1$ e $A_2$:

Sabendo que a corrente no instante inicial é nula:

$i\left(0\right)=0$

$0=e^{Re\left\{\lambda_{1}\right\}0}\left(A_{1}\cos\left(0\cdot Im\left\{\lambda_{1}\right\}\right)+A_{2}sen\left(0\cdot Im\left\{\lambda_{1}\right\}t\right)\right)=A_{1}$

Assim, a expressão da corrente se resume em:

$i\left(t\right)=e^{Re\left\{\lambda_{1}\right\}t}A_{2}sen\left(Im\left\{\lambda_{1}\right\}t\right)$

como a corrente inicial é nula, a queda de tensão no resistor também é nula, logo a tensão inicial do capacitor é igual a tensão no indutor.

$v_{L}\left(t\right)=V_{0}=L\frac{di\left(t\right)}{dt}$

$v_{L}\left(t\right)=A_{2}\cdot L\cdot\frac{d\left(e^{Re\left\{\lambda_{1}\right\}t}sen\left(Im\left\{\lambda_{1}\right\}t\right)\right)}{dt}$

$v_{L}\left(t\right)=A_{2}\cdot L\cdot\left(Re\left\{\lambda_{1}\right\}e^{^{Re\left\{\lambda_{1}\right\}t}}sen\left(Im\left\{\lambda_{1}\right\}t\right)+Im\left\{\lambda_{1}\right\}e^{Re\left\{\lambda_{1}\right\}t}\cos\left(Im\left\{\lambda_{1}\right\}t\right)\right)$

$v_{L}\left(0\right)=A_{2}\cdot L\cdot\left(Re\left\{\lambda_{1}\right\}e^{^{0}}sen\left(Im\left\{\lambda_{1}\right\}\cdot0\right)+Im\left\{\lambda_{1}\right\}e^{0}\cos\left(Im\left\{\lambda_{1}\right\}\cdot0\right)\right)$

$v_{L}\left(0\right)=A_{2}\cdot L\cdot Im\left\{\lambda_{1}\right\}$

$A_{2}=\frac{V_{0}}{L\cdot Im\left\{\lambda_{1}\right\}}$

E assim finalmente encontramos a solução para a corrente elétrica:

$i\left(t\right)=\frac{V_{0}}{L\cdot Im\left\{\lambda_{1}\right\}}e^{Re\left\{\lambda_{1}\right\}t}\sin\left(Im\left\{\lambda_{1}\right\}t\right)$

Substituindo os valores:

$i\left(t\right)=\frac{V_{0}}{L\cdot\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^{2}}{4L^{2}}}}e^{-\frac{R}{2L}t}\sin\left(\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^{2}}{4L^{2}}}t\right)$

simplificando um pouco:

$i\left(t\right)=\frac{V_{0}}{\sqrt{\frac{L^{2}}{LC}-L^{2}\frac{R^{2}}{4L^{2}}}}e^{-\frac{R}{2L}t}\sin\left(\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^{2}}{4L^{2}}}t\right)$

$i\left(t\right)=\frac{V_{0}}{\sqrt{\frac{L}{C}-\frac{R^{2}}{4}}}e^{-\frac{R}{2L}t}\sin\left(\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^{2}}{4L^{2}}}t\right)$

nota-se que ele se trata de uma corrente que oscila como no caso do circuito LC, mas devido ao fator de amortecimento, ele apresenta um amortecimento decrescente, isso se deve ao fato do resistor ir dissipando a energia armazenada no sistema.


https://www.desmos.com/calculator/rsqpctdpag

link do circuito ai tb:

https://tinyurl.com/yy9n4lvv

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