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title: Avaliação 2 - Síntese de filtro Passivo e Ativo
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# Avaliação 2 - Síntese de filtro Passivo e Ativo

**Aluno:** Maurício Taffarel Barreto da Silva
**Professor:** Maicon Deivid Pereira
**Número:** 17
**Data:** 11/05/2021

## 1. Contextualização e parâmetros:

Para meu filtro, tenho os seguintes parâmetros de projeto:

- Tipo de filtro: **Passa baixas**
- Número do aluno: **17**
- Limite da Banda de Passagem ($f_{p}$): $34kHz$
- Limite da Banda de Rejeição ($f_s$): $204kHz$
- Atenuação máxima na banda de passagem ($A_{máx}$): $0.2dB$
- Atenuação mínima na banda de rejeição ($A_{min}$): $50dB$
- Impedância de carga e de fonte iguais a $1 k\Omega$

## 2. Determinação da ordem do filtro

Para determinar a ordem do filtro, temos o seguinte conjunto de equações:

$$\epsilon=\sqrt{10^{A_{máx}/10}-1}=0.217091105416$$

$$n>\frac{\log\left(\frac{10^{A_{min}/10}-1}{10^{A_{máx}/10}-1}\right)}{\log\left(\frac{w_{s}}{w_{p}}\right)^{2}}$$

O cálculo numérico realizado pode ser encontrado através deste [link](https://www.desmos.com/calculator/0ctryxlbrm)

O valor encontrado foi:

$$n\ge4.06521970749$$

Assim, a ordem escolhida será $n=5$.

Com a orden, sabemos a quantidade de indutores e capacitores, serão necessários 3 capacitores e 2 indutores.

## 3. Obtenção do filtro passivo

Utilizando as equações abaixo, podemos determinar o valor dos capacitores:

$$C_{k}=2\epsilon^{\frac{1}{k}}\sin\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)$$

$$L_{k}=2\epsilon^{\frac{1}{k}}\sin\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)$$

Sabendo a ordem do filtro, pode-se determinar, através do Octave, a função de transferência que implementa este filtro:

```python=12
[Ne, Wne] = buttord(wp, ws, Amax, Amin, 's')
```

A seguinte linha também devolve ordem do filtro 5.

Através da seguintes linhas determinamos os componentes:

```python=14
e = (10^(Amax/10)-1)^(1/2)

C1 = 2*e^(1/Ne)*sin((2*1-1)*pi/(2*Ne))
L2 = 2*e^(1/Ne)*sin((2*2-1)*pi/(2*Ne))
C3 = 2*e^(1/Ne)*sin((2*3-1)*pi/(2*Ne))
L4 = 2*e^(1/Ne)*sin((2*4-1)*pi/(2*Ne))
C5 = 2*e^(1/Ne)*sin((2*5-1)*pi/(2*Ne))
```

Podemos reunir os valores retornados pelo script na tabela abaixo:

| Componente |  Valores  |
|:----------:|:---------:|
|   $C_1$    | $0.4553F$ |
|   $L_2$    | $1.1921H$ |
|   $C_3$    | $1.4735F$ |
|   $L_4$    | $1.1921H$ |
|   $C_5$    | $0.4553F$ |

Para desnormalização, temos:

$$C_{kd}=\frac{C_{k}}{ab}$$

$$L_{kd}=\frac{bL_{k}}{a}$$

Os valores de $a$ e $b$ podem ser calculados da seguinte maneira:

$$𝑎=𝜔_{p}= 2.1363\cdot10^{5}rd/s$$

$$𝑏 = R_1 = R_2=1k\Omega$$

Podemos determinar com o seguinte trecho do script:

```python=22
a = wp;
b = R1;

C1d = (C1)/(a*b)
L2d = (b*L2)/(a)
C3d = (C3)/(a*b)
L4d = (b*L4)/(a)
C5d = (C5)/(a*b)
```

Deste modo, resumindo os valores obtidos na tabela:



| Componente |  Valores  |
|:----------:|:---------:|
|   $C_1$    | $2.1315nF$ |
|   $L_2$    | $5.5803mH$ |
|   $C_3$    | $6.8976nF$ |
|   $L_4$    | $5.5803mH$ |
|   $C_5$    | $2.1315nF$ |

O esquemátido do circuito encontrado pode ser visto abaixo:

![](https://i.imgur.com/N2VIDeP.png)

## 4. Obtenção do filtro ativo equivalente (Transfomação de Bruton)

A transformação de Bruton para obtenção do filtro ativo equivalente pode ser feita da seguinte forma:
- Resistores serão capacitores com valor de $1/R\space F$
- Indutores serão resistores com valor de $L \space\Omega$
- Capacitores serão supercapacitores com valor $1$ $FDNR = 1$$GIC$

> Importante ter cuidado com os valores dos resistores, eles devem ser suficientemente grandes para evitar a distorção, devido a característica de um amplificador operacional real.[color=#ee0000]

Assim, temos:

$$C_i=\frac{1}{R_i}$$

$$R_i=L_i$$

$$D_i=\frac{CC_LR_2R_4}{R_3}$$

Considerando um ampop real, escolhi $R_2=R_3=R_4=R'=1k\Omega$ e $C=1F$

Como $C'_j=D_i=C_k/R'$ (considerando resistores iguais), com isto temos:

$$C_i=\frac{1}{R_i}=\frac{1}{1000}=1mF$$

$$R_i=L_i=5.5803m\Omega$$

$$C'_j=\frac{C_k}{R'}=\frac{1}{1000}=1mF$$

E assim, reunimos os valores obtidos na tabela abaixo:

|  Compoente  |     Valores     |
|:-----------:|:---------------:|
|    $C_i$    |      $1mF$      |
|    $R_i$    | $5.5803m\Omega$ |
|   $C_1^2$   |   $2.1315nF$    |
|   $C_2^2$   |   $6.8976nF$    |
|   $C_3^2$   |   $2.1315nF$    |
|   $C'_j$    |      $1mF$      |
| $R_{2,3,4}$ |   $1k\Omega$    |

Assim, pôde-se implementar o circuito abaixo:

![](https://i.imgur.com/4AmLHLh.png)


## 5. Gráficos dos filtros apresentadas

Nesta parte, iremos observar a resposta em frequência dos filtros simulados no LTSpice.

### 5.1 Resposta em frequência (amplitude)

<center>
<img src="https://i.imgur.com/vGgpJjo.png">
</center>

A resposta em frequência simulada obtida com o filtro passivo e o circuito ativo apresentam uma boa correspondência. 

## 5.2 Resposta em frequência (Banda de passagem)

<center>

<img src="https://i.imgur.com/WmmMyAQ.png">
</center>

O resultado obtido mais uma vez, satisfatório, apresentando boa correspondência.

## 6.3 Resposta em frequência (Banda de rejeição)

<center>
<img src="https://i.imgur.com/Byu37Dj.png">
</center>

É possível verificar que o circuitos, tanto o passivo e o ativo, também atendem os requisitos de projeto no limite da banda de rejeição, no qual é atendido uma atenuação de no mínimo $50dB$. Isso foi atendido com sobra, como projetado.

## 5.4 Resposta em frequência (fase)

E por último, mas não menos importante, a fase, que não foi levada em consideração neste projeto, mas possui uma fundamental importância, também apresentam as respostas em frequência muito próximas umas das outras.

<center
<img src="https://i.imgur.com/tlnoze6.png">
</center>

## 6. Obtenção da tabela de comparação com especificações do gabarito

Para obter as atenuações e os ganhos, podemos inserir os seguintes comandos:

Para o filtro passivo:
```python
>> abs(Tp(1))
ans = 6.0206

>> max(abs(Tp(2*pi*fp<wp)))
ans = 6.2185

>> min(abs(Tp(2*pi*fp>ws)))
ans = 70.606
```

Para o filtro ativo:
```python
>> abs(Ta(1))
ans = 6.0228

>> max(abs(Ta(2*pi*fa<wp)))
ans = 6.2540

>> min(abs(Ta(2*pi*fa>ws)))
ans = 72.335
```

|                   | Frequência (Hz) | Ganho Filtro LC $(dB)$ | Ganho Filtro ativo $(dB)$ | Atenuação Filtro LC $(dB)$ | Atenuação Filtro ativo $(dB)$ |
| ----------------- |:---------------:|:----------------------:|:-------------------------:|:--------------------------:|:-----------------------------:|
| Banda de passagem |   $f_p=34kHz$   |        $6.0206$        |         $6.0228$          |          $0.1979$          |           $0.23412$            |
| Banda de rejeição |  $f_p=204kHz$   |           $70.606$            |             $72.335$             |             $64.5854$              |               $66.3122$               |

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