###### tags: `111-1學校上課`
# 線性代數筆記
## Chapter 1 矩陣與聯立方程式
### 矩陣定義
> **n*m 的矩陣(代表n列，每列有m個)**
### 方陣
> 1. **n*n的被稱為方陣**
> 2. **主對角線被稱為trace(跡)**
### 單位矩陣
> 0;i!=j
> 1;i==j

**ex1:**
$$
A=
\begin{bmatrix}
1&0 \\
0&1
\end{bmatrix}
$$
**ex2:**
$$
A=
\begin{bmatrix}
1&0&0 \\
0&1&0 \\
0&0&1
\end{bmatrix}
$$
### 對角矩陣
> 0;i!=j
> something else;i==j

**ex1:**
$$
A=
\begin{bmatrix}
1&0 \\
0&2
\end{bmatrix}
$$
**ex2:**
$$
A=
\begin{bmatrix}
1&0&0 \\
0&2&0 \\
0&0&3
\end{bmatrix}
$$
### 三角矩陣
> 有分上三角以及下三角

**ex1:**
$$
A=
\begin{bmatrix}
1&3 \\
0&2
\end{bmatrix}
$$
**ex2:**
$$
A=
\begin{bmatrix}
1&0&0 \\
2&2&0 \\
3&4&3
\end{bmatrix}
$$

### 矩陣運算

#### 定理
1. 加法結合律$$(A+B)+C=A+(B+C)$$
2. 加法交換律$$A+B=B+A$$
3. 轉置$$(A^T)^T=A$$
4. 轉置$$(A+B)^T=A^T+B^T$$
5. 乘法分配律$$A(B+C)=AB+AC$$
6. 乘法結合律$$(A+B)C=AC+BC$$
7. 乘法結合律$$(AB)C=A(BC)\\ AB \neq BA$$
8. 乘法轉置$$(AB)^T = B^TA^T$$

證明:
$$
aij + bij = cij \\
A = a^T
B = b^T
C = c^T \\
Aij=aji
Bij=bji
Cij=cji\\
Cij = aji + bji = Aij + Bij
$$
#### 加法

for(int i=0;i<n;i++)
    for(int j=0;j<m;j++)
        ans[i][j]=A[i][j]+B[i][j];

$$
A=
\begin{bmatrix}
1&0 \\
0&1
\end{bmatrix};
B=
\begin{bmatrix}
1&2 \\
3&1
\end{bmatrix} \\
A+B=
\begin{bmatrix}
2&2 \\
3&2
\end{bmatrix}
$$
#### 乘法
> n1*m1 matrix * n2*m2 matrix **
> m1 必須與 n2 相等
> 產生的矩陣會大小為n1*m2

for(int i=0;i<n1;i++)
    for(int j=0;j<m2;j++)
        for(int t=0;t<m1;t++)
            ans[i][j]=A[i][t]+B[t][j];

$$
A=
\begin{bmatrix}
1&0&2 \\
0&1&3
\end{bmatrix};
B=
\begin{bmatrix}
1&2 \\
3&1 \\
2&1
\end{bmatrix} \\
A*B=
\begin{bmatrix}
1*1+0*3+2*2&1*2+0*1+2*1 \\
0*1+1*3+3*2&0*2+1*1+3*1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
5&4 \\
9&4
\end{bmatrix}
$$
#### 轉置

for(int i=0;i<n1;i++)
    for(int j=0;j<m2;j++)
            ans[i][j]=A[j][i]

$$
A=
\begin{bmatrix}
1&0&2 \\
0&1&3
\end{bmatrix};
\\
A^T=
\begin{bmatrix}
1&0\\
0&1\\
2&3
\end{bmatrix}
$$

### 線性聯立方程式

$$x+y=4\\2x+3y=10\\(x,y)=(2,2)\\
x+y=4\\2x+2y=8\\(x,y)=無窮多解\\
x+y=4\\2x+2y=5\\(x,y)=No \space sloution$$
2. 現在的解法(高斯消去法)
ex:
$$
x+y=4\\2x+3y=10\\
This \space is \space augmented \space matrix \\
\begin{bmatrix}
1&1&4 \\
2&3&10
\end{bmatrix}
$$

### row reduce 有以下幾個操作
1. 交換
2. 乘倍數
3. 用某一列以特定倍數與某一列合併
$$
\begin{bmatrix}
1&1&4 \\
2&3&10
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1&1&4 \\
0&1&2
\end{bmatrix}
$$
可以得到
x+y=4
y=2
=>x=2,y=2
### 定理
1. 若m*n的矩陣，n>m 代表，Ax=0必有除了0之外的解
因為他確定會有比有自由變數，因為消完最多有m 個pivot 必有自由變數
### reduce echol form row echol form
1. row echol form只要消到每個pivot下面都沒元素
2. reduce echol form要消到每個pivot上下面都沒元素
### 反矩陣
反矩陣意義為:自身與她相乘後會變成單位向量
ex:
$$
A=\begin{bmatrix}
1&-1\\
1&2
\end{bmatrix},
A^{-1}=\begin{bmatrix}
2/3&1/3\\
-1/3&1/3
\end{bmatrix}\\
A*A^{-1}=\begin{bmatrix}
\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\\
\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}&\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1&0\\
0&1
\end{bmatrix}
$$
#### 公式
$$
A=\begin{bmatrix}
a&b\\
c&d
\end{bmatrix}
A^{-1}=\dfrac{1}{ad-cb}\begin{bmatrix}
a&b\\
c&d
\end{bmatrix}\\
det(A)=\dfrac{1}{ad-cb}\\
如果det(Matrix)代表他沒有反矩陣
$$
#### 定理
1.
$$
A=\begin{bmatrix}
a&b\\
c&d
\end{bmatrix}
A^{-1}=\dfrac{1}{ad-cb}\begin{bmatrix}
a&b\\
c&d
\end{bmatrix}\\
det(A)=\dfrac{1}{ad-cb}\\
如果det(Matrix)代表他沒有反矩陣
$$
2. $$(A^{-1})^{-1}=A$$
3. $$(AB^{-1})=B^{-1}A^{-1}$$
4. $$(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$$
5. $$(A^{-1})^{-1}=A$$

## Chapter 3 向量空間
### 定義
1. V = span{u,v},u+v in V
2. u+v = v+u
3. (u+v)+w = u+(v+w)
4. u+(-u)=0