# Linux 核心專題: 位元運算
> 執行人: alexc-313
> [解說錄影](https://youtu.be/n0v-YSs6-Ns)
### Reviewed by `MikazukiHikari`
> 牛頓迭代法
```c
// 檢查是否收斂
if (new_guess == guess || (new_guess > guess && new_guess - guess <= 1) || (guess > new_guess && guess - new_guess <= 1)) {
// 返回較小的整數作為平方根的整數部分
return (new_guess * new_guess <= x) ? new_guess : new_guess - 1;
}
```
原判斷條件三重且略微冗餘，是否可簡化為：
```c
if (abs(new_guess - guess) <= 1)
```
> [name=alexc-313]
> 經過測試後發現此方法是可行的，感謝回饋。
### Reviewed by `rota1001`
在浮點數開平方根的部份，是否有注意到指數部份是奇數的情況？在程式碼部份我有看到這個問題的處理，不過文字敘述方面沒有講到這個，如果補上會比較完整。
> [name=alexc-313]
> 已補上文字說明，感謝回饋。
### Reviewed by `thwuedwin`
> 我們可以用最簡單的二分查找法來實作開平方根，此方法簡單但運用多次除法，成本較高。
你的 `x` 是整數，所以你判斷 `mid <= x / mid` 這個是不是可以換成 `mid * mid <= x`。頂多確認一下是否有溢位，但有溢位就代表 `mid` 還太大。除以 2 也可以換成位元運算。解決了除法的問題，二分查找法還有什麼問題？
> [name=alexc-313]
> 就算換成 `mid * mid <= x` 且假設檢查溢位的成本可忽略，以及用位元運算取代除法，相比於位元運算法，二分查找法需要利用乘法實際計算平方根，且在最差情況下，位元運算法需要\~15次迴圈，而二分查找法需要~31次迴圈。
另外你確定你的浮點數平方根是正確的嗎？你只計算 mantissa 的部分，再乘上 exponent 的部分，你算出來的平方根值都會是偶數吧？會有一堆精度被吃掉。
> [name=alexc-313]
> 已補上測試結果，若使用 64 位元則不會損失任何精度，也不會有都是偶數的問題。
### Reviewed by `Ian-Yen`
> int mid = left + (right - left) / 2;
這邊程式碼中使用要 `/ 2` 的部分，能夠使用位元運算應盡量使用位元運算，也就是 ((right - left) >> 1)
> [name=alexc-313]
> 感謝回饋，在二分查找法與牛頓迭代法的程式碼中確實有許多能改進的地方。
### Reviewed by `Max042004`
> 好難，還在看
> 情境 0 的 `while (bit > x) bit >>= 2` 也可以用 clz，最差情況下應該會比一次移兩位好。
> [name=alexc-313]
> 感謝您的回饋，已用 clz 對程式做出改進，並確認使用 __builtin_clzll 能夠達到與 sqrtf 相近的效能與精度。
### Reviewed by `LeoriumDev`
> `int_sqrt` 函式當中 while 迴圈判斷式可簡化為：
> ```diff
> - while (bit != 0) {
> + while (bit) {
> ```
>
> 可利用位元運算將程式碼從 3 行簡化為 2 行：
> ```diff
> - uint64_t bit = (uint64_t)1 << 62;
> - int lz = __builtin_clzll(x);
> - bit >>= lz - (lz & 1);
>
> + int shift = (63 - __builtin_clzll(x)) & ~1;
> + uint64_t bit = 1ULL << shift;
> ```
> [name=alexc-313]
> 感謝回饋，確實此做法會讓程式更精簡。
### Reviewed by `h0w726`
>牛頓迭代法
```c
// 初始猜測值，可以選擇 x/2 或其他合理的值
int guess = x / 2;
```
選擇 $\frac{2}{x}$ 的原因是什麼，其他合理的值要怎麼猜測?
> [name=alexc-313]
> 感謝回饋，選擇 $\frac{x}{2}$ 的原因是因為其最直觀，也可以選擇其他初始值，例如當 $\ x \in [1, 100]$ 時使用 `guess = 0.4 * x + 0.6`
## TODO: 以定點數實作開平方根
> 情境 0: 輸入是 int 型態 (採用 LP64 data model)，輸出也是 int 型態
> 情境 1: 輸入是 IEEE float (單精度)，輸出是 int 型態
> 情境 2: 輸入是 IEEE float，輸出也是 float 型態
> 針對上述情境，皆不可使用 FPU，只能藉由定點數予以計算，務必降低誤差並比較 glibc 的效能表現，提出改進方案。要有數學分析，並提供多種實作手法
### 情境 0
#### 二分查找法
```c
int bin_sqrt(int x)
{
if (x < 0) return 0;
if (x <= 1) return x;
int left = 0, right = x;
int result = 0;
while (left <= right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
if (mid <= x / mid) {
left = mid + 1;
result = mid;
} else {
right = mid - 1;
}
}
return result;
}
```
我們可以用最簡單的二分查找法來實作開平方根，此方法簡單但運用多次除法，成本較高。
#### 牛頓迭代法
```c
int new_sqrt(int x)
{
if (x < 0) return 0;
if (x <= 1) return x;
// 初始猜測值，可以選擇 x/2 或其他合理的值
int guess = x / 2;
// 避免無限循環，設置最大迭代次數
int max_iterations = 20;
int iteration = 0;
while (iteration < max_iterations) {
int new_guess = (guess + x / guess) / 2;
// 檢查是否收斂
if (new_guess == guess || (new_guess > guess && new_guess - guess <= 1) ||
(guess > new_guess && guess - new_guess <= 1)) {
// 返回較小的整數作為平方根的整數部分
return (new_guess * new_guess <= x) ? new_guess : new_guess - 1;
}
guess = new_guess;
iteration++;
}
return (guess * guess <= x) ? guess : guess - 1;
}
```
#### 位元運算法
```c
int bit_sqrt(int x)
{
uint32_t res = 0;
uint32_t bit = 1UL << 30;
while (bit > x) bit >>= 2;
while (bit != 0) {
if (x >= res + bit) {
x -= res + bit;
res = (res >> 1) + bit;
}
else res >>= 1;
bit >>= 2;
}
return res;
}
```
此方法基於逐位試探法，從最高有效位開始，逐步向下檢查每個可能的位是否應該包含在平方根中。它類似於長除法的手動計算方式。
* 初始化: `uint32_t bit = 1UL << 30;`，$2^{32}$ 的平方根為 65536 ，需要 16 位元來表示，所以再任意 32 位元的整數中，最大的可能平方根需要用 15 位元來表示，又因為開平方後的位元大約為原本的兩倍，所以從 `1 << 30` 開始。接下來用 `while (bit > x) bit >>= 2;` 快速移動 `bit` 至初始位置。
* 主迴圈:
1. `if (x >= res + bit)` → 測試是否可以加入當前 bit。
2. `x -= res + bit` → 減去對應的平方貢獻。
3. `res = (res >> 1) + bit` → 更新平方根。
4. `bit >>= 2` → 處理下一個更低的位。
測試程式:
```c
bool err = false;
for (size_t i = 0; i < INT_MAX; i++)
{
int a = my_sqrt(i), b = sqrt(i);
if (a != b) {
printf("your answer: %d, correct answer: %d\n", a, b);
err = true;
}
}
if (!err) {
printf("all correct\n");
}
```
以上方法皆通過此測試。
#### 效能測試
### 情境 1
首先我們先分析單精度 IEEE 754:
單精度 IEEE 754 可分為三個部分，分別為 Sign (S)、 Exponent (E)、 Mantissa (M)，以下分別討論各部分在求平方根時需做的處理。
由於我們不討論虛數，所以可忽略 S，而 E 及 M 可以表示為:
$$\sqrt{M \cdot 2^{E-127}} = \sqrt{M} \cdot 2^{\frac{E-127}{2}}$$由此可知，我們只須求出 M 的平方根，再將其乘上 $2^{\frac{E-127}{2}}$ 就可得出浮點數的平方根。
在不可使用 FPU，只能藉由定點數予以計算的條件下，我們先將 M 轉換為定點數，利用上述的位元運算法求出其平方根，再將其轉換為 int 即可得到浮點數的平方根。若遇到 $2^{\frac{E-127}{2}}$ 為奇數的狀況，則將 M 用位移方式乘二，就可避免 `e >>= 1` 奇數時損失精度。
```c
int my_sqrt(float x)
{
if (x < 1) return 0;
if (x == 1.0f) return 1;
uint32_t bits;
memcpy(&bits, &x, sizeof(x));
int e = ((bits >> 23) & 0xFF) - 127;
uint32_t m = (bits & 0x7FFFFF) | 0x800000; //Q16.16
m >>= 7;
if (e & 1) m <<= 1;
uint32_t root = int_sqrt(m); //Q8.8
e >>= 1;
root <<= 8; //convert from Q8.8 to Q16.16
uint64_t root64 = (uint64_t)root;
root64 <<= e;
return root64 >> 16;
}
```
測試結果如下:
```
Input my_sqrt sqrtf (int) Abs Error
---------------------------------------------------------------
0.000000e+00 0 0 0
-1.000000e+00 0 -2147483648 -2147483648
1.000000e-10 0 0 0
1.000000e-04 0 0 0
2.500000e-01 0 0 0
5.000000e-01 0 0 0
7.500000e-01 0 0 0
1.000000e+00 1 1 0
1.500000e+00 1 1 0
2.000000e+00 1 1 0
3.141590e+00 1 1 0
4.000000e+00 2 2 0
9.000000e+00 3 3 0
1.600000e+01 4 4 0
1.000000e+02 10 10 0
1.234568e+04 111 111 0
1.000000e+10 99840 100000 -160
```
首先當 x 為 $-1.000000 \times 10^{0}$ 時，sqrtf (int) 回傳的數值很詭異，這是因為原本回傳值為 `nan` ，再轉換為 int 所造成的結果。
再來看到當 x 為 $1.000000 \times 10^{10}$ 時，此方法產生了顯著的誤差，推斷是我使用 Q16.16 表示原有23位 mantissa 的浮點數，在 `m >>= 7` 時損失了後七位元提供的精度。
為了確認我的推斷，我改進了 `int_sqrt` 以及 `my_sqrt`，用 uint64_t 讓我能夠用 Q32.32 表示浮點數。
```c
uint64_t int_sqrt64(uint64_t x)
{
uint64_t res = 0;
uint64_t bit = (uint64_t)1 << 62;
while (bit > x) bit >>= 2;
while (bit != 0) {
if (x >= res + bit) {
x -= res + bit;
res = (res >> 1) + bit;
}
else res >>= 1;
bit >>= 2;
}
return res;
}
int my_sqrt64(float x)
{
if (x < 1) return 0;
if (x == 1.0f) return 1;
uint64_t bits;
memcpy(&bits, &x, sizeof(x));
int e = ((bits >> 23) & 0xFF) - 127;
uint64_t m = (bits & 0x7FFFFF) | 0x800000; //Q32.32
m <<= 9;
if (e & 1) m <<= 1;
uint64_t root = int_sqrt64(m); //Q16.16
e >>= 1;
root <<= 16; //convert from Q16.16 to Q32.32
root <<= e;
return root >> 32; //convert from Q32.32 to int
}
```
測試結果如下:
```
Input my_sqrt64 sqrtf (int) Abs Error
---------------------------------------------------------------
0.000000e+00 0 0 0
-1.000000e+00 0 -2147483648 -2147483648
1.000000e-10 0 0 0
1.000000e-04 0 0 0
2.500000e-01 0 0 0
5.000000e-01 0 0 0
7.500000e-01 0 0 0
1.000000e+00 1 1 0
1.500000e+00 1 1 0
2.000000e+00 1 1 0
3.141590e+00 1 1 0
4.000000e+00 2 2 0
9.000000e+00 3 3 0
1.600000e+01 4 4 0
1.000000e+02 10 10 0
1.234568e+04 111 111 0
1.000000e+10 100000 100000 0
```
可見此版本能夠通過 x 為 $1.000000 \times 10^{10}$。
#### 效能測試
由於效能並不理想，我再次審視程式碼後發現，由於 m = (bits & 0x7FFFFF) | 0x800000 ，只會用到 24 位元，這代表不需要使用 uint64_t ，可以使用 uint32_t 並採用 Q8.24 表示法，這樣不僅節省記憶體的使用，也可以增加效率
```c
int my_sqrt_new(float x)
{
if (x < 1) return 0;
if (x == 1.0f) return 1;
uint32_t bits;
memcpy(&bits, &x, sizeof(x));
int e = ((bits >> 23) & 0xFF) - 127;
uint32_t m = (bits & 0x7FFFFF) | 0x800000; //Q16.16
m <<= 1; //Q8.24
if (e & 1) m <<= 1;
uint32_t root = int_sqrt(m); //Q4.12
e >>= 1;
root <<= e;
return root >> 12;
}
```
#### 效能測試
可見效能相較於先前有顯著的進步，與 glibc 相近。
### 情境 2
```c
float my_sqrt_f(float x) {
if (x < 0) return NAN;
uint64_t bits;
memcpy(&bits, &x, sizeof(x));
int e = ((bits >> 23) & 0xFF) - 127;
uint64_t m = (bits & 0x7FFFFF) | 0x800000; //Q32.32
m <<= 9;
if (e & 1) m <<= 1;
uint64_t root = int_sqrt64(m); //Q16.16
e >>= 1;
// Reconstruct float manually
uint32_t new_bits = ((e + 127) << 23) | ((root << 7) & 0x7FFFFF);
float result;
memcpy(&result, &new_bits, sizeof(result));
return result;
}
```
這裡和情境 1 所用的方法類似，差別在於最後不是將定點數轉為 int 表示，而是重組成 float。 `(root << 7)` 會將原本 Q16.16 轉換為 23 位元的 mantissa ，再搭配 `(e + 127)` 的位移，就完成 float 的重組了。
測試結果如下:
```
Input my_sqrt_f sqrtf Abs Error
---------------------------------------------------------------
0.000000e+00 0.000000 0.000000 0.000000
-1.000000e+00 nan nan nan
1.000000e-10 0.000010 0.000010 -0.000000
1.000000e-04 0.010000 0.010000 -0.000000
2.500000e-01 0.500000 0.500000 0.000000
5.000000e-01 0.707100 0.707107 -0.000007
7.500000e-01 0.866020 0.866025 -0.000005
1.000000e+00 1.000000 1.000000 0.000000
1.500000e+00 1.224731 1.224745 -0.000013
2.000000e+00 1.414200 1.414214 -0.000014
3.141590e+00 1.772446 1.772453 -0.000008
4.000000e+00 2.000000 2.000000 0.000000
9.000000e+00 3.000000 3.000000 0.000000
1.600000e+01 4.000000 4.000000 0.000000
1.000000e+02 10.000000 10.000000 0.000000
1.234568e+04 111.110352 111.111107 -0.000755
1.000000e+10 100000.000000 100000.000000 0.000000
```
可見在非整數時會有些許誤差，我推斷是 `uint64_t root = int_sqrt64(m); //Q16.16` ，由於開根號後會從原本的 Q32.32 降成 Q16.16 ，此時只有 16 bit 來表示原本 23 位元的 mantissa ，犧牲的精度會造成些微誤差。
於是我決定採用 Q18.46 來表示 float ，這樣開根號後就變成 Q9.23 ，能夠有效的保留小數點後的精度。
```c
float my_sqrt_f_new(float x) {
if (x < 0) return NAN;
uint64_t bits;
memcpy(&bits, &x, sizeof(x));
int e = ((bits >> 23) & 0xFF) - 127;
uint64_t m = (bits & 0x7FFFFF) | 0x800000; //Q18.46
m <<= 23;
if (e & 1) m <<= 1;
uint64_t root = int_sqrt64(m); //Q9.23
e >>= 1;
// Reconstruct float manually
uint32_t new_bits = ((e + 127) << 23) | ((root ) & 0x7FFFFF);
float result;
memcpy(&result, &new_bits, sizeof(result));
return result;
}
```
測試結果如下:
```
Input my_sqrt_f_new sqrtf Abs Error
---------------------------------------------------------------
0.000000e+00 0.000000 0.000000 0.000000
-1.000000e+00 nan nan nan
1.000000e-10 0.000010 0.000010 0.000000
1.000000e-04 0.010000 0.010000 0.000000
2.500000e-01 0.500000 0.500000 0.000000
5.000000e-01 0.707107 0.707107 0.000000
7.500000e-01 0.866025 0.866025 0.000000
1.000000e+00 1.000000 1.000000 0.000000
1.500000e+00 1.224745 1.224745 -0.000000
2.000000e+00 1.414214 1.414214 0.000000
3.141590e+00 1.772453 1.772453 -0.000000
4.000000e+00 2.000000 2.000000 0.000000
9.000000e+00 3.000000 3.000000 0.000000
1.600000e+01 4.000000 4.000000 0.000000
1.000000e+02 10.000000 10.000000 0.000000
1.234568e+04 111.111107 111.111107 0.000000
1.000000e+10 100000.000000 100000.000000 0.000000
```
可見所有測試皆與 `sqrtf` 的結果相同。
#### 效能測試
由於需使用 64 位元的 `int_sqrt64` ，所以效能與 `sqrtf` 有顯著差距。
若要增加效能，我們可以只用 uint32_t ，並用 Q2.30 來表示 float ，但就會損失 8 位元的精確度。
```c
float my_sqrt_f32(float x) {
if (x < 0) return NAN;
uint32_t bits;
memcpy(&bits, &x, sizeof(x));
int e = ((bits >> 23) & 0xFF) - 127;
uint32_t m = (bits & 0x7FFFFF) | 0x800000; //Q2.30
m <<= 7; //Q2.30
if (e & 1) m <<= 1;
uint32_t root = int_sqrt(m); //1.15
e >>= 1;
// Reconstruct float manually
uint32_t new_bits = ((e + 127) << 23) | ((root << 8) & 0x7FFFFF);
float result;
memcpy(&result, &new_bits, sizeof(result));
return result;
}
```
測試結果如下:
```
Input my_sqrt_f32 sqrtf Abs Error
---------------------------------------------------------------
0.000000e+00 0.000000 0.000000 0.000000
-1.000000e+00 nan nan nan
1.000000e-10 0.000010 0.000010 -0.000000
1.000000e-04 0.010000 0.010000 -0.000000
2.500000e-01 0.500000 0.500000 0.000000
5.000000e-01 0.707092 0.707107 -0.000014
7.500000e-01 0.866013 0.866025 -0.000013
1.000000e+00 1.000000 1.000000 0.000000
1.500000e+00 1.224731 1.224745 -0.000013
2.000000e+00 1.414185 1.414214 -0.000029
3.141590e+00 1.772430 1.772453 -0.000023
4.000000e+00 2.000000 2.000000 0.000000
9.000000e+00 3.000000 3.000000 0.000000
1.600000e+01 4.000000 4.000000 0.000000
1.000000e+02 10.000000 10.000000 0.000000
1.234568e+04 111.109375 111.111107 -0.001732
1.000000e+10 100000.000000 100000.000000 0.000000
```
但在效能上就能與 glibc 相提並論
#### 感謝 `Max042004` 提出可以使用 clz 改進 `while (bit > x) bit >>= 2` 。
```c
uint64_t int_sqrt(uint64_t x)
{
uint64_t res = 0;
uint64_t bit = (uint64_t)1 << 62;
/*while (bit > x) bit >>= 2;*/ //replaced by __builtin_clzll
int lz = __builtin_clzll(x);
bit >>= lz - (lz & 1);
while (bit != 0) {
if (x >= res + bit) {
x -= res + bit;
res = (res >> 1) + bit;
}
else res >>= 1;
bit >>= 2;
}
return res;
}
```
這邊我使用 `<x86intrin.h>` 中的 `__builtin_clzll` 快速得出 clz ，取代原本的 while 迴圈。
測試結果如下:
```
Input my_sqrt_f_new sqrtf Abs Error
---------------------------------------------------------------
0.000000e+00 0.000000 0.000000 0.000000
-1.000000e+00 nan nan nan
1.000000e-10 0.000010 0.000010 0.000000
1.000000e-04 0.010000 0.010000 0.000000
2.500000e-01 0.500000 0.500000 0.000000
5.000000e-01 0.707107 0.707107 0.000000
7.500000e-01 0.866025 0.866025 0.000000
1.000000e+00 1.000000 1.000000 0.000000
1.500000e+00 1.224745 1.224745 -0.000000
2.000000e+00 1.414214 1.414214 0.000000
3.141590e+00 1.772453 1.772453 -0.000000
4.000000e+00 2.000000 2.000000 0.000000
9.000000e+00 3.000000 3.000000 0.000000
1.600000e+01 4.000000 4.000000 0.000000
1.000000e+02 10.000000 10.000000 0.000000
1.234568e+04 111.111107 111.111107 0.000000
1.000000e+10 100000.000000 100000.000000 0.000000
```
#### 效能測試
可以看到此版本在精度與效能都達到與 glibc 中的 sqrtf 相近的表現，再次感謝 `Max042004` 提出改進的想法!
> 以定點數計算 EWMA，闡述其原理、適用場景，並探討誤差，要有數學分析。
## TODO: 探討上述在 Linux 核心的應用
> 搭配課程教材，理解開平方根和 EMWA 如何應用於 Linux 核心 (如 CPU 排程器)，予以探討其實作手法
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