# Übung 1

## Aufgabe 1.1

### a)
Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke sowohl in kartesischen als auch in Kugelkoordinaten

$$\nabla r,\quad \nabla\frac1r,\quad \nabla\cdot\mathbf r$$

#### Lösung

... to be continued ...

### b)

Beweisen Sie folgende Identitäten:

1. $$∇ × ∇ψ = 0$$
2. $$∇ · (∇ × \mathbf a) = 0$$
3. $$∇(\mathbf a · \mathbf b) = (\mathbf a · ∇)\mathbf b + (\mathbf b · ∇)\mathbf a + \mathbf a × (∇ × \mathbf b) + \mathbf b × (∇ × \mathbf a)$$
4. $$∇ × (\mathbf a × \mathbf b) = \mathbf a(∇ · \mathbf b) − \mathbf b(∇ · \mathbf a) + (\mathbf b · ∇)\mathbf a − (\mathbf a · ∇)\mathbf b$$
5. $$∇ × (∇ × \mathbf a) = ∇(∇ · \mathbf a) − ∇^2\mathbf a$$

#### Lösung

... to be continued ...

## Aufgabe 1.2

$$I_1 = \int\delta(x-a)x^2\mathrm dx$$
$$I_2 = \int\delta(x^2-a^2)f(x)\mathrm dx$$
$$I_3 = \int\delta^\prime(x-a)f(x)\mathrm dx$$
$$I_4 = \int\limits_{-\infty}^0e^{-x^2}\delta(x+1)\left[1-\cos\left(5\frac\pi 2\right)\right]$$
$$I_5 = \int\limits^{\infty}_0e^{-x^2}\delta(x+1)\left[1-\cos\left(5\frac\pi 2\right)\right]$$

### Lösung

... to be continued ...

## Aufgabe 1.3

### a)

Zeigen Sie folgende Relation zwischen den Ladungseinheiten im SI- und im Gauß-System mittels des Coulombgesetzes:
$$1\text{C} = 2, 997 924 48 · 10^9 \text{esu}$$

#### Lösung

... to be continued ...

### b)

Die Einheit des elektrischen Feldes E im SI-System ist V/m. Berechnen Sie die Einheit des elektrischen Feldes im Gauß-System und geben Sie das Ergebnis mit Hilfe der Einheit
$$\text{statvolt} = \text{g}^{1/2} \text{cm}^{1/2} \text{s}^{−1}$$
an.

#### Lösung

... to be continued ...

## Aufgabe 1.4

### a)

Beweisen Sie, dass
$$\mathbf E(x) = (y^2 \cos(x) + z^3 )\mathbf e_x + (2 y \sin(x) − 4)\mathbf e_y + (3 x z^2 + 2)\mathbf e_z$$
ein konservatives Vektorfeld ist.

#### Lösung

... to be continued ...

### b)

Berechnen Sie das dazugehörende Potential $\phi(\mathbf x)$.

#### Lösung

... to be continued ...

### c)

Berechnen Sie die Arbeit $W$, die geleistet wird, wenn eine Ladung $q = 1$ in diesem Potential von (0, 1, −1) nach ($π$/2, −1, 2) bewegt wird. Geben Sie an, entlang welchen Weges Sie integrieren. Warum ist die Wahl des Weges hier irrelevant?

#### Lösung

... to be continued ...

# Platz für Fragen und Antworten: