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# System prepended metadata

title: RO stochastique - 2
tags: [OPERA, ' moular_b', ' moemoea.fierin']

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title: RO stochastique - 2
description:
tags: OPERA, moemoea.fierin, moular_b
author: Moemoea Fiérin
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# Chaine de Markov récap

* Systeme observe a des instants discrets.
* Pour avoir une chaine de markov il fallait avoir un certain nb d'etat (à $t = k\tau$)
* A lintersection de la ligne i,j c'est une probabilité: si le sys est dans l'etat i a l'instant t=k$\tau$ que le sys passe dans l'etat j à $t=(k+1)\tau$
* On s'est donnée une matrice M
* M =


|     | A    | B    | C    |
| --- | ---- | ---- | ---- |
| A   |      |      |      |
| B   |      |      |      |
| C   | Text | Text | Text |
|  D   |      |      |      |
|  E   |      |      |      |

Regime transistoire = on s'interesse au premiere instant du sys, il fallait decrire chaque instant par un vecteur: par ex: a $t=k*\tau$ --> $\prod_{k}^{}$ = ($\prod_{k}^{A}$ ...$\prod_{k}^{E}$)

:::danger
Si cette limite existe et si elle est indépendante de l'etat initial alors on dit que la chaine de Markov est ergodique.
:::

5 etats initaux pssible a t = 0
il faut calculer tous les indices 
L'animal peu etre en A


| animal en A | animal en B |  ....   | animal en E |
| ----------- | ----------- | --- | ---- |
| $\prod_{0}^{}$ = (1000)       | $\prod_{0}^{}$ = (0100)      |  ...   | $\prod_{0}^{}$ = (0001) |

ça c'est le regime transitoire ^^^^
:::warning
il faut que la limite du vecteur i,k existe 
donc que la collone converge vers un certain vecteur.
Mais cela ne suffit pas il faut en plus que toutes les colonne converge vers le meme $\prod_{\infty}$ = (?)
:::

Ici l'animal ne peut converger vers B
Donc la chaine de markov n'est pas ergodique.

# <span style="color:red">Conditions ++**suffisantes**++ d'ergodicité</span>
## <span style="color:green">Trois conditions concernant le graphe de transition</span>
1) le graph doit etre fini
2) le graph est fortement connexe
3) Au moins une boucle

## <span style="color:green">Qu'est ce que le graph de transitions:</span>
- Les sommets sont les differents etats
- les arcs sont les transitions de i -> j (i a l'instant ktau et j a linstant (k+1)tau)
- valuation Pij

//TODO 
```graphviz
digraph hierarchy {

                nodesep=1.0 // increases the separation between nodes

                node [color=Red,fontname=Courier] 
                edge [color=Blue, style=dashed] 

                Headteacher->{Deputy1 Deputy2 BusinessManager}
                Deputy1->{Teacher1 Teacher2}
                BusinessManager->ITManager
                {rank=same;ITManager Teacher1 Teacher2}  // Put them on the same level
}
```
// TODO end

:::success

Ici les 3 condition suff d'ergo ne sont pas verifiee (2 = non verifiée) => on ne peut donc pas conclure
:::

## <span style="color:green"> Application plus simple (pour avoir un cadre ergodique)</span>
- 3 compartiments dans la cage.
- Les trois conditions d'ergodicité sont vérifiée $\Rightarrow \prod_{\infty}$ existe
- Calcul du vecteur $\prod_{k}$ = $\prod_{k - 1} * M$
- Pour calculer le regime permanent de la chaine de markov: $\prod_{\infty}$ = $\prod_{\infty} * M$

Si on developpe la relation matriciel on peut ecrire les trois composantes:
- c = 0,3c + 0,3d + 0,4e
- d = 0,4c + 0,7d
- e = 0,3c + 0,6e
- et c + d + e = 1

:::danger
$\prod_{\infty}$ = (c d e) = (12/37, 16/37, 9/37)
:::

## <span style="color:green">Interpretations Ponctuelles</span>
- Si on laisse se dérouler le regime transitoire jusqu'a un certain temps.
- Si c'est ergodique il apparait un regime permanent (a partir d'un certain temps donnée par le calcul). Cad si on fait un sondage on observe le sys, alors on va avoir qu'on a 1 chance sur 3 de retrouve l'animal dans le compartiment c (12/37) c'est comme si le systeme n'est plus aléatoire puisqu'on a une probabilité de l'animal dans le compartiment 

:::info
$\prod_{\infty}$ est la probabilité de l'animal d'etre dans les compartiments.
:::

:::danger
On a une sorte de disparition du hasard
=> STABILISATION MACROSCOPIQUE
:::

## Interpretation Statistique
:::info
On laisse passe le régime transitoire.
on attend d'etre dans le regime transitoire
:::
On peut trier les photo

Ce que nous dit le vecteurs c'est que les photos de type c (12/37) et 16/37eme de photo de type d et 9/37eme de photo de type e

On aura la proportions de photo de chacun des types qui ne varie plus 


### 2eme application prob du garagiste
- 4 vehicules loués a la journée
- chaque vehicule peut tomber en panne (proba P)
- Le garagiste ne peut faire qu'un reparation en soiree
- On suppose que $\tau$ = une journée -> on observe le sys tout les $\tau$ 
- On a une demande en location superieur à l'offre.
- On suppose que le garagiste n'ouvre son garage que s'il y'a au moins deux vehicules en état de marche en début de journée

#### Question 1
1) Modeliser le fonctionne a l'aide d'une chaine de Markov

Modélisation sous forme de ch de Markov
- sys considere ?
- trouver la valeur de Tau?
- Quelles sont les etats possibles a t= $k\tau$
- Trouvr la matrice de transition (matrice de proba conditionnell)
- Trouver le graph de transition


Definir les etats en les associant au nb de vehicule qui marche au debut d'une journee. Combien d'etat differents? 4 (A: 1vehicule qui marche, B: 2vehicule, C: 3veh, D: 4veh)
impossible d'avoir les 4 véhicules en panne 

Calcule de la matrice M:
1er ligne: a T=ktau le sys est dans l'etat A au debut de la journée. Un seul vehicule marche

|M |A      |B      |C        |D          |
|--|-------|-------|---------|-----------|
|A |       |1      |         |           |
|B |$p^2$  |$2pq$  |$q^2$    |           |
|C |$p^3$  |$3p^2q$|$3pq^2$  |$q^3$      |
|D |$p^4$  |$4p^3q$|$6p^2q^2$|$4pq^3+q^4$|


{%pdf http://mastercorp.epita.eu/a1/cours/programmation.lineaire/polycopie.pdf %}

//TO be continued ...
//END





