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# Recherche Opérationnelle Stochastique

> Patrick Siarry

### Plan du cours
- Rappels / Probas
- Chaines de MARKOV -> 1 modélisation processus:
- Aléatoire
- Discret
- Sans mémoire
- Processus de MARKOV -> cas continu
- Processus de naissance et de mort
- Files d'attentes

## Rappel / Proba

**Exercice 1 (p. 111)**
1 main: 13 cartes / 52

1) Proba $q_k$ d'avoir k as dans la main ?
Proba: ${Nb\ d'évènements\ faisables\over Nb\ d'évènements\ possibles}$ = ${Nb\ mains\ ayant\ k\ as\over Nb\ total\ de\ mains}$
$\binom{p}{n}$ = ${n!\over p!(n-p)!}$ Nombre de mains ayant k as $(0 \le k \le 4)$
Proba $q_k$ = ${\binom{k}{4} * \binom{13}{52 - 4}\over \binom{13}{52}}$
$q_0$ = ${\binom{0}{4} * \binom{13}{52 - 4}\over \binom{13}{52}}$ = ${{48! \over 13! * 35!} * {13! * 39! \over 52!}}$ = ${39*38*37*36\over 52*51*50*49} \approx 0.304$
${q_1} \approx0,439$
${q_2} \approx0,213$
${q_3} \approx0,041$
${q_4} \approx0,003$
2) Proba d'avoir au moins 1 as: $1 - {q_0} \approx 0,696$
${Nb\ mains\ rouge\over Nb\ total\ de\ mains} = {\binom{13}{26}\over \binom{13}{52}} = {{26! \over 13!*13!}*{13!*39!\over 52!}} \approx 1,6*10^{-5}$

**Exercice 2**
Un lot de 12 pièces contient:
- 4 pièces défectueuses
- 8 pièces bonnes

On tire 3 pièces, l'une après l'autre, sans remise après tirage.
Proba(aucune pièce défectueuse)?
2 méthodes:
- M1: On raisonne (1 seul tirage des 3 pièces d'un seul coup)
${Nb\ de\ jeu\ de\ 3\ pièces\ bonnes\over Nb\ de\ jeu\ de\ 3\ pièces}$
${\binom{3}{8}\over \binom{3}{12}} = {8!\over 3!*5!}*{3!*9!\over 12!} = {8*7*6\over 12*11*10} = 0,255$

- M2: On tire les pièces l'une après l'autre
p = ${8\over 12}*{7\over 11}*{6\over 10} = 0,255$

**Exercice 3**
Un lot de coton:
- 75% de fibres courtes
- 25% de fibres longues

-> On tire 3 fibres -> p(2L, 1C)
-> tirage d'une fibre : Proba(1C) = 0,75 = q et Proba(1L) = 0,25 = p

(2L, 1C) => LLC ou LCL ou CLL => 3p²q

Loi binomiale ou loi de uiz