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title: RO stochastique - 1
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author: Moemoea Fiérin
tags: OPERA, moemoea.fierin, Siarry
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# <span style="color:red">Introduction - Plan du cours</span>
- Rappels / Probabilité
- Chaine de rapport = moyen de modeliser un processus qui a 3 modalites
- aléatoire
- discret
- sans mémoire
- Généralisation des processus de rapport (Procéssus de MARKOV)
- Processus de NAISSANCE et de MORT
- Files d'attentes

# <span style="color:red">Rappels / Probabilités</span>
<span style="color:blue">**Exercice 1: p111**</span>
- une main de 13 cartes / 52
1) Proba $q_k$ d'avoir strictement k as dans la main?
Proba = Nb element favorable / Nb elements possinles
= Nb mains ayant k as/ Nb total de mains

Nb total de mains ?

Nb de mains ayant exactement k as (0 <= k <= 4)

# <span style="color:red">Chaines de MARKOV</span>
## C'est un model par processus:
- aléatoire
- discret
- sans memoire

## **Définition:**
- On considère un sys qui est observer a des instants

## **Exemple:**
- Animal enferme dans une cage
- il peut aller:
- A->B et A->C
- C->E E->C
- D->C C->D
- temps = 1sec
- "systeme" = {cage animal}
- "Etat" onsuppose qu'a un ainstant d'observation donnee t=kPi le sys se trouve dans un etat et un seul (parmi une liste d'etat possible et connu a l'avance)
- Ici: 5 etats A,B,C,D et E
- Si on observe l'animal a n'importe quelle moment l'animal sera dans un etat
- Remarque = pas d'etat intermediaire
- On definit la notion de chaine
- "Chaine"=succession des etats observe depuis l'état t=0, t=To, t=2To, ...
- Exemple: AAABB

- :warning: Pour arriver a une chaine de markov il faut rajouter a tout ca un mechanisme de transition ou changement d'etat.

## Mechanisme de transition (un changement d'etat)
Si le sys est dans l'etat i (proba conditionelle) à t = kTo, con connait $P_ij$ = proba d'etre dans l'etat j a t=(k+1)To

On connait la matrice de transition M = x * x avec n = nb total d'etat possible

Quelle est la probabilité qu'il soit en A a l'instan KTo qu'il reste en B en C en D en E
Quand il est en A on suppose qu'a l'instant suivant il peut passer a A ou B ou C ou ...

**Hypothese** To est suppose assez petit pour que kTo et (k+1)kTo l'animal n'a pas pu changer plusieurs fois de compartiment (compartiment=état).

(*Voir Matrice*)
1er travail = determiner M
Elle represente la probabilite de passer d'un etat a un autre. Son contenu sont des proba données

La chaine des etats succesif observe et alors une Chaine de MARKOV
- les processus:
- * aleatoire <- $P_ij$
- * discret <- t=kTo
- * sans memoire

(*voir dessin temps*)
On dit qu'on a affaire a un processus sans memoire. Puisque la connaissance de l'état présent est suffisante pour calculer les états ulterieurs.

**Remarque** Tous les processus aléatoire et discret ne peuvent pas etre modeliser de cette manière.

**Par exemple** un processus qui n'est pas une chaine de Markov.
- Si on prend deux personnes different sont dans le meme etats. Ils n'ont pas la meme probabilité de passer dans la liste accesible. La connaisance de l'etat present ne suffit pas a connaitre la proba de l'etat futur.

## Regime transitoire d'une chaine de Markov
Qu'est ce que c'est ? On suppose
- l'etat connu a t=0
- que l'on connait la Matrice M

**Exemple**
- a t=0 -> l'animal est en A

Le regime transitoire consiste a se demander: Peut on calculer dans quelle etat se trouvera le systeme a un instant ulterieur par exemple t=32To ?

On va pouvoir calculer 5 probabilités que l'on va pouvoir regrouper dans un vecteur $i_3$$_2$. Les proba vont avoir une somme qui est egale a 1.

A l'instant t=0 on aura un vecteur $PI_0$ = (1 0 0 0 0)
A l'instant t=To on aura $PI_1$ = ( ? )
A l'instant t=32To on aura $PI_3$$_2$ = ( )

**Formule**:
PI$_k$ = (PI$_k$$_-$$_1$) * M

Que vaut $PI_1$^C^? qui est la probabilité de l'etat C à t=To

Peut-on calculer Pi$_3$$_2$ sans connaitre tous ceux qui le precedent ?

**formule**
Pi$_k$ = PI$_0$ * M^k^