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tags: ANDO, joffrey.chambon
title: ANDO cours 4
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# Suite exercices
## Exercice 6
$a \in ]0,1[, b \in ]0, +\infty[$

$X$ et $Y$ 2 variables dont la loi conjointe est $P(X=i)\cap(Y=j)) = 0$ si $i<j$ ou $\frac{b^ie^{-b}a^j(1-a)^{i-j}}{j!(i-j)!}$

1) Déterminer la loi marginale ainsi que $E(X), V(X), E(Y), V(Y)$
2) $X$ et $Y$ sont elles indépendantes ?
3) Déterminer la loi de $Z=X-Y$
4) $Y$ et $Z$ sont elles indépendantes ?

### Question 1 :
$P(X=i) = \sum_{j\in \Bbb N} P((X=i)\cap(Y=j)) = \sum_{j=0}^i \frac{b^ie^{-b}a^j(1-a)^{i-j}}{j!(i-j)!} = b^ie^{-b}\sum_{j=0}^i \frac{a^j(1-a)^{i-j}}{j!(i-j)!}$
$(P(X=i) = \frac{b^ie^{-b}}{i!}\sum_{j=0}^i C_j^ia^j(1-a)^{i-j}$
:::success
Rappel combinaison :
$C_j^i = \frac{i!}{j!(i-j)!}$
Rappel formule du bînome de Newton :
$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n C_k^n a^kb^{n-k}$
:::

$P(X=i) = \frac{b^ie^{-b}}{i!} (a+1-a)^i$
$P(X=i) = e^{-b} \frac{b^i}{i!}$ $\forall i \in \Bbb N$

:::success
Rappel loi de Poisson :
$X \rightarrow P(\lambda)$
$P(X=k) = e^{-k} \frac{\lambda^{k}}{k!}$ $\forall k \in \Bbb N$
$E(X) = V(X) = \lambda$
:::

Dans notre cas, $X \rightarrow P(b)$

$\forall j \in \Bbb N$
$P(Y=j) = \sum_{i \in \Bbb N} P((X=i)\cap(Y=j)) = \sum_{i=j}^{+\infty} \frac{b^ie^{-b}a^j(1-a)^{i-j}}{j!(i-j)!} = \frac{e^{-b}a^j}{j!} \sum_{i=j}^{+\infty}\frac{b^i(1-a)^{i-j}}{(i-j)!}$
$P(Y=j) = \frac{e^{-b}(ab)^j}{j!}\sum_{i=j}^{+\infty} \frac{(b(1-a))^{i-j}}{(i-j)!}$
:::success
Rappel : $e^x = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^k}{k!}$ $\forall x \in \Bbb R$
:::

$P(Y= j) = \frac{e^{-b}(ab)^j}{j!}e^{b(1-a)} = \frac{(ab)^j}{j!}e^{-ab}$
Donc $Y \rightarrow P(ab)$

:::success
Récapitulatif : $X \rightarrow P(b)$ et $Y \rightarrow P(ab)$
:::

L'espérance et la variance sont triviales pour $X$ et $Y$

### Question 2 : indépendance
$X \rightarrow P(b)$
$P((X=0) \cap (Y=1)) = 0$
$P(X=0).P(Y=1) = e^{-b}*ab*e^{-ab} \neq 0$
Donc $X$ et $Y$ ne sont pas indépendants

### Question 3 :
On a $Z=X-Y$
$P(Z=k) = \sum_{(i,j)/ i -j = k}P((X=i)\cap(Y=j)) = \sum_{i \geq k}^{+\infty} P((X=i)\cap(Y=i-k))$
$P(Z=k) = \sum_{i=k}^{+\infty} \frac{b^ie^{-b}a^{i-k}(1-a)^k}{(i-k)!k!} = \frac{e^{-b}(1-a)^k}{k!}\sum_{i=k}^{+\infty}\frac{b^ia^{i-k}(1-a)^k}{(i-k)!} = \frac{e^{-b}((1-a)b)^k}{k!}\sum_{i=k}^{+\infty} \frac{(a-b)^{i-k}}{(i-k)!}$

$P(Z=k) = \frac{e^{-b}((1-a)b)^k}{k!} e^{ab}$

$P(Z=k) = e^{-b(1-a)} \frac{((1-a)b)^k}{k!}$

Donc $Z \rightarrow P((1-a)b)$

### Question 4 :
$Y \rightarrow P(ab)$ et $Z \rightarrow P((1-a)b)$
$\forall (j,k) \in \Bbb N^2$
$P((Y=j)\cap(Z=k)) = P((Y=j) \cap (X-Y=k)) = P((Y=j)\cap(X=j+k))$

$P((Y=j)\cap(Z=k)) = \frac{b^{j+k}e^{-b}a^j(1-a)^k}{j!k!}$

$P(Y=j).P(Z=k) = e^{-ab}\frac{(ab)^j}{j!}e^{-(1-a)b} \frac{((1-a)b)^k}{k!} = \frac{(ab)^je^{-b}((1-a)b)^k}{j!k!}$

# II) Analyse de composantes principales
## 1) Les données et leurs caractéristiques
### a) Tableau des données
Les observations de $p$ variables sur n individus sont rassemblées en une matrice $X$ à $n$ lignes et $p$ colonnes
$X = \begin{bmatrix}X^{(1)} &... & X^{(j)}& ... & X^{(p)}\\ & & & \\ & & X_i^{(j)}& \\ & & & \end{bmatrix}$

### b) Matrice de poids
On associe à chaque individu un poids $p_i, (p_i \geq 0)$. C'est la probabilité de choisir l'individu $i$
$\sum_{i=1} p_i = 1$
$D = \begin{bmatrix}P_1 & & 0 \\ & & \\ 0 & & P_n\end{bmatrix}$

Si $p_i = 1/n \forall i$
alors $D = 1/n * I_n$

### c) Centre de gravité
Le vecteur g :
$t_g= (X^{(1)}barre, ..., X^{(p)}barre)$

$X^{(j)}barre = \sum_{i=1} p_i X_i^{(j)}$ -> moyenne arithmétique de $X^{(j)}$

Le tableau des données centrées : $Y$
$y_i^{(j)} = X_i^{(j)} - X^{(j)}barre$

### d) Matrice de var_covariance et matrice de corrélation

$V = Y^{trans}DY$ -> matrice de var-covariance
On note $D_{1/s} =$ matrice diagonale des inverses écart-types
$D_{1/s} = \begin{bmatrix}\frac{1}{S_1} & & 0 \\ & & \\ 0 & & \frac{1}{S_p}\end{bmatrix}$
$S_j = \sqrt{V(X^{(j)})}$ -> écart-type
$S_j = \sqrt{\sum_{i=1}^n p_i(y^{(j)})²}$

$Z$ : tableau des données centrées réduites

$Z_i^{(j)} = \frac{y_i^{(j)}}{S_j}$
$Z = YD_{1/s}$