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title: ANDO cours 3
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# Suite Exercices
## Exercice 5
Une urne contient des boules noires en proportion $p(0<p<1)$ et des boules blanches en proportion $q=1-p$. On effectue une suite de tirages d'une boule avec remise.
1) On note $N$ le rang aléatoire d'apparition de la première boule noire et $B$ celui de la première boule blanche
* Déterminer les lois de $N$ et $B$ ainsi que $E(N), E(B), V(N), V(B)$
* $N$ et $B$ sont elles indépendantes ?
2) On note $X$ la longueur de la première suite de boules de la même couleur, $Y$ celle de la deuxième
* Déterminer la loi conjointe de $(X,Y)$
* La loi de $X$, $E(X)$ et montrer que $E(X) \geq 2$
* Loi de $Y$, $E(Y)$ et $V(Y)$
* Calculer $P(X=Y)$
* Loi de $X+Y(p=1/2)$
### Question 1
$N$ correspond au temps d'attente de la première réalisation de l'évènement "obtenir une boule noire" et $B$ le temps d'attente de la première réalisation de l'évènement "obtenir une boule blanche"
$N(\Omega) = B(\Omega) = [[1, +\infty[[$
#### 1.1
$N \rightarrow G(p)$ et $B \rightarrow G(q)$, c'est une loi géométrique de paramètre $p$ et $q$
:::info
Loi géométrique utilisée dans le cas d'évènements indépendants
:::

$P(N=k) = (1-p)^{k-1}, p=q^{k-1}p$
$P(B=k) = (1-q)^{k-1}, q=p^{k-1}q$
$E(N) = \frac{1}{p}$
$E(B) = \frac{1}{q}$
$V(N) = \frac{q}{p²}$
$V(B) = \frac{p}{q²}$

#### 1.2
$P((N=1) \cap (B=1)) = P(\varnothing) = 0$
$P(N=1)P(B=1) = pq \neq 0$, donc $N$ et $B$ sont indépendants

### Question 2
Exemple : $(X=1)\cap (Y=2)$ est réalisé pour :
$(N_1\cap B_2 \cap B_3 \cap N_4)$ ou $(B_1 \cap N_2 \cap N_3 \cap B_4)$

$X(\Omega) = Y(\Omega) = \Bbb N^*$

#### 2.1 : Loi du couple $(X,Y)$
$P((X=i) \cap (Y=j))$ $\forall (i,j) \in (\Bbb N^*)²$
$(X=i) \cap (Y=j)$ : $(N_1 \cap N_2 \cap ... \cap N_i \cap B_{i+1} \cap ... \cap B_{i+j} \cap N_{i+j+1}) \cup (B_1 \cap B_2 \cap ... \cap B_i \cap N_{i+1} \cap ... \cap N_{i+j} \cap B_{i+j+1})$

$P((X=i)\cap(Y=j)) = p^{i+1}q^j + q^{i+1}p^j$

#### 2.2 : Loi de $X$

$P(X=i) = \sum_{j=1}^{+\infty}(p^{i+1}q^j + q^{i+1}p^j) = p^{i+1}q\frac{1}{1-q} + q^{i+1}p\frac{1}{1-p}$
Donc, $P(X=i) = p^iq + q^ip$

:::info
Somme suite géométrique :
$\sum_{i=0}^{+\infty} p^i = \frac{1}{1-p}, |p| \geq 1$
:::

$E(X) = \sum_{n=1}^{+\infty}n(qp^n+pq^n)$

#### 2.4 : Calculer $P(X=Y)$
:::info
Rappel :
$P((X=i) \cap (Y=j)) = p^{i+1}q^i + q^{i+1}p^j$
$\sum_0^{+\infty}p^n = \frac{1}{1-p}$
:::
$(X=Y)=\bigcup_{n=1}^{+\infty}((X=n)\cap(Y=n))$

$((X=n)\cap(Y=n))$ -> incompatibles

$P(X=Y) = \sum_{n=1}^{+\infty}P((X=n)\cap(Y=n)) = \sum_{n=1}^{+\infty}p^{n+1}(q^n + q^{n+1}p^n) = p\sum_{n=1}^{+\infty}(pq)^n + q\sum_{n=1}^{+\infty}(pq)^n =$
$p²q\frac{1}{1-pq} + pq²\frac{1}{1-pq} = \frac{p²q + pq²}{1-pq} = \frac{pq(p+q)}{1-pq} = \frac{pq}{1-pq}$

#### 2.5 : Loi de $X+Y$
On a $p=q=1/2$

$X(\Omega) = Y(\Omega) = \Bbb N^*$
$(X+Y)(\Omega) = [[2,+\infty[[$
$\forall k \in [[2, +\infty[[$
$P(X+Y=k) = \sum_{(i,j)/i+j=k} P((X=i)\cap(Y=j))$
Sachant que $P((X=i) \cap (Y=j)) = \frac{1}{2^{i+1}} * \frac{1}{2^j} + \frac{1}{2^{i+1}} * \frac{1}{2j} = (1/2)^{i+j}$
$P(X+Y=k) = \sum_{i=1}^{k-1} P((X=i)\cap(Y=k-1)) = \sum_{i=1}^{k-1} (1/2)^k = (1/2)^k(k-1)$
$P(X+Y=k) = (k-1) * (1/2)^k$