# Bloch sphere （下）：Quantum Gate 如何運作
上一節中，我們用 Bloch sphere 可視化 qubit 的狀態，這一節將延續這概念，帶大家了解 quantum gate 如何影響 qubit 的狀態。

## 常見 single qubit quantum gate
### X gate
X gate 的作用就是在 Bloch sphere 上繞著 X 軸旋轉 $180^{\circ}$。原本指向 +Z 軸的箭頭（即 $|0\rangle$）會移動到 -Z 軸（即 $|1\rangle$）

<div style="text-align: center;">
<img src="https://hackmd.io/_uploads/BJIDXGPn0.svg"
alt="Bloch X gate" width="80%"/>
<br>X gate 的作用就是對 Bloch 球上的 X 軸（綠色線）旋轉 180 度（紅色線），原本指向 +Z 軸的淺黃粗箭頭（帶有藍點的）會轉到 -Z 軸（深黃粗箭頭）
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</p>
</div>

再回頭看前面提過 X gate 的作用，是可以與 Bloch sphere 的結果對應：

\begin{split}
X|0\rangle = |1\rangle\\
X|1\rangle = |0\rangle
\end{split}

### Y gate
相同地，Y gate 的作用是繞著 Y 軸旋轉 $180^{\circ}$。

<div style="text-align: center;">
<img src="https://hackmd.io/_uploads/B1q74Mvh0.svg"
alt="Bloch Y gate" width="80%"/>
<br>Y gate 的作用就是對 Bloch 球上的 Y 軸（綠色線）旋轉 180 度（紅色線），原本指向 +Z 軸的淺黃粗箭頭（帶有藍點的）會轉到 -Z 軸（深黃粗箭頭）
<p>
</p>
</div>

<div style="background-color: #E0E0E0; color: #333; padding: 15px; font-style: italic; border-radius: 5px;">
你知道 $Y|0\rangle=i|1\rangle$，對應到 Bloch sphere 上，即 $\theta=90^\circ$，$\phi=90^\circ$，所以在這裡看不到虛數的硬想
</div>

可以明顯看到，與 X gate 一樣，連續轉兩次會回到原點，即

\begin{split}
XX|0\rangle = YY|0\rangle=I|0\rangle=|0\rangle\\
\end{split}

### Phase shift gate
你應該也猜到了，Z gate 就是繞著 Z 軸轉 $180^{\circ}$。

<div style="text-align: center;">
<img src="https://hackmd.io/_uploads/ByuwVzPhR.svg"
alt="Bloch Z gate" width="80%"/>
<br>qubit 的初始狀態是淺黃箭頭指向之處（即淺藍點的地方），經過 Z gate 的操作，也就是對 Z 軸（綠色線）旋轉 180 度（紅色線）後，qubit 的狀態變為在深黃箭頭指向之處
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</p>
</div>

如果今天只有轉 $90^{\circ}$，就是 S gate，T gate 就是繞著 Z 軸轉 $45^{\circ}$

### H gate
H gate 的運作比較抽象，正確來說是是繞著 $\frac{X+Z}{\sqrt{2}}$ 軸轉 $180^{\circ}$：

<div style="text-align: center;">
<img src="https://hackmd.io/_uploads/HJymSGw3A.svg"
alt="Bloch Ｈ gate" width="80%"/>
<br>H gate 的作用是繞著圖中綠色線旋轉 180 度（紅色箭頭與紅色軌跡），原本指向狀態為 0 的淺黃帶藍點箭頭會轉到指向重疊態的深黃箭頭
<p>（請原諒作者藝術不好，紅色軌跡線畫不好）
</p>
</div>

這樣講起來蠻抽象的，另一種理解方式是先繞著 Y 軸轉 $90^{\circ}$ 再繞著 X 軸轉 $180^{\circ}$：

<div style="text-align: center;">
<img src="https://hackmd.io/_uploads/SyfHiGwn0.svg"
alt="Bloch Ｈ gate" width="80%"/>
<br>另一種理解 H gate 的操作，是先對 Y 軸旋轉 90 度，原本指向 0 的淺黃箭頭會沿著粉色軌跡線（標注 1 的那條）移動到 X 軸處，再對 X 軸旋轉 180 度，深黃箭頭繞著標註為 2 的粉色軌跡線在原地旋轉
<p>
</p>
</div>

<blockquote>
實際上這種操作方式並不是 H gate，反而是 -iH，但在測量後我們觀測不到 -i 的影響，因此可以當作 H gate
</blockquote>

## Rotation gate
我們前面看到的 X, Y, Z gate 都是繞特定軸旋轉 $180^\circ$ 或 $90^\circ$，但如果需要其他角度旋轉呢？像是只是想要旋轉 $30^{\circ}$，能做到嗎？這時候就需要 rotation gate，，它允許我們在 Bloch sphere 上進行任意角度的旋轉。

### RX gate

<div style="text-align: center;">
<img src="https://hackmd.io/_uploads/SkJYjzvhR.svg"
alt="RX gate" width="40%"/>
<br>
<p>RX gate 的符號
</p>
</div>

RX gate 是繞著 X 軸旋轉任意角度 $\theta$，公式如下：

\begin{split}
RX(\theta)=
\begin{bmatrix}
\cos{\frac{\theta}{2}} & -i\sin{\frac{\theta}{2}} \\
-i\sin{\frac{\theta}{2}} & \cos{\frac{\theta}{2}}
\end{bmatrix}
\end{split}

我們前面提過，X gate 是繞著 X 軸轉 $180^{\circ}$，即 $RX(\pi)$，當你真的代這角度到上述矩陣後會發現

\begin{split}
X=iRX(\pi)&=i
\begin{bmatrix}
\cos{\frac{\pi}{2}} & -i\sin{\frac{\pi}{2}} \\
-i\sin{\frac{\pi}{2}} & \cos{\frac{\pi}{2}}
\end{bmatrix} \\
&=i
\begin{bmatrix}
0 & -i \\
-i & 0
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
\end{split}

它與 X gate 差一個虛數 $i$，但實際我們做觀測後，看不到虛數（卻又真實存在），所以通常會忽略之，即

\begin{split}
X\approx RX(\theta)
\end{split}

有時候 RX gate 會寫成
\begin{split}
RX(\theta)&=e^{-i\frac{\theta}{2}X}\\
&=\cos{\frac{\theta}{2}}I-i\sin{\frac{\theta}{2}}X
\end{split}

### RY gate

<div style="text-align: center;">
<img src="https://hackmd.io/_uploads/BkwAiMv3R.svg"
alt="RY gate" width="40%"/>
<br>
<p>RY gate 的符號
</p>
</div>

同理，RY 是繞著 Y 軸做旋轉

\begin{split}
RY(\theta)&=
\begin{bmatrix}
\cos{\frac{\theta}{2}} & -i\sin{\frac{\theta}{2}} \\
\sin{\frac{\theta}{2}} & \cos{\frac{\theta}{2}}
\end{bmatrix}\\
&=e^{-i\frac{\theta}{2}Y}\\
&=\cos{\frac{\theta}{2}}I-i\sin{\frac{\theta}{2}}Y
\end{split}

同理，
\begin{split}
Y&=iRY(\pi)\approx RY(\pi) \\
\end{split}

有了 RX 與 RY gate 後，就能組合出 H gate，即前面對 H gate 的第二種理解方式，先對 Y 軸轉 90 度再對 X 軸轉 180 度：

\begin{split}
H&=X\sqrt{Y}\approx RX(\pi)RY(\frac{\pi}{2})=-iH
\end{split}

### RZ gate

<div style="text-align: center;">
<img src="https://hackmd.io/_uploads/B1ZZ2fPh0.svg"
alt="RZ gate" width="40%"/>
<br>
<p>RZ gate 的符號
</p>
</div>

\begin{split}
RZ(\theta)&=
\begin{bmatrix}
e^{-i\frac{\theta}{2}} & 0 \\
0 & e^{i\frac{\theta}{2}}
\end{bmatrix}\\
&=e^{-i\frac{\theta}{2}Z}\\
&=\cos{\frac{\theta}{2}}I-i\sin{\frac{\theta}{2}}Z
\end{split}

同理，
\begin{split}
Z&=iRZ(\pi)\approx RZ(\pi)
\end{split}

前面提及，S gate 就是繞著 Z 軸轉 $90^{\circ}$，T gate 則是旋轉 $45^{\circ}$，即：

\begin{split}
S&=\sqrt{Z} \approx RZ(\frac{\pi}{2}) \\
T&=\sqrt{S} \approx RZ(\frac{\pi}{4})
\end{split}

以上可以發現 rotation gate 與我們介紹常用的 gate 都差了一個虛數，這虛數我們稱之為 global phase（全局相位），不過這 global phase 在現實中無法被觀測到，也就是說它大體上不會影響到計算的過程與結果，因此通常會忽略不計。