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title: 07 Orthonormal Bases
tags: [數學]

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# Orthonormal Bases
## 定義
綜合前面所述，如果今天向量空間中的 Basis 符合以下兩個條件，我們就稱此 basis 為 orthonormal bases（標準正交基）：

1. Basis 互相為 orthogonal
2. Basis 向量長度為 1（normalized）

在前面幾篇文章中，我們知道向量可以用 Bra-ket 做表示。如果今天，一個向量空間中的一組 basis $\{|b_1\rangle, |b_2\rangle, \ldots,|b_n\rangle \}$ 滿足以下條件，我們就稱這組 basis 為 orthonormal bases
1. 任兩個 basis 向量，都為 $\langle b_i|b_j\rangle=0$
2. 每個 basis 向量都是 $\langle b_i|b_i\rangle=1$

以二維空間為例，最常見的例子是 $\{(1,0), (0,1)\}$，這組 basis 為 orthonormal bases，因為它滿足：
1. $(1,0)\cdot(0,1)=1\cdot0+0\cdot1=0$
2. $||(1,0)||=\sqrt{1^2+0^2}=||(0,1)||=1$

<div style="text-align: center;">
    <img src="https://hackmd.io/_uploads/HyhBTu2TT.svg" alt="核磁共振" width="80%"/>
    <br>
    <p>
    當向量空間的 basis 互相 orthogonal 且長度為 1，這組 basis 就稱作 "orthonormal bases"</p>
</div>

一個向量空間中可以有很多組 basis，同理，也可以有很多組 orthonormal bases，以二維空間為例，下面這組 basis 也是 orthonormal bases：
\begin{split}\{(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}), (\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})\}
\end{split}

## 重新表達向量
如前述文章，向量空間中的所有向量都能用 basis 做表示，也就是說：
\begin{split}
|v\rangle = c_1|b_1\rangle+c_2|b_2\rangle+\ldots+c_n|b_n\rangle
\end{split}
其中 $c_n$ 是向量 $v$（在這組 basis）的分量，這裡選用 orthonormal bases

<div style="background-color: #E0E0E0; color: #333; padding: 15px; font-style: italic; border-radius: 5px;">
    <p>範例：</p>
    \[
    \begin{split}
    |v\rangle &= (-2,1) = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix} \\
    |b_1\rangle &= (1,0) \\
    |b_2\rangle &= (0,1)
    \end{split}
    \]
    <p>則：\(|b\rangle = -2|b_1\rangle + 1|b_2\rangle\)</p>
</div>

從中你也可以觀察到：
\begin{split}
c_n=\langle b_n|v\rangle
\end{split}

<div style="background-color: #E0E0E0; color: #333; padding: 15px; font-style: italic; border-radius: 5px;">
證明：欲求 $c_n$值，則我們將 $|b_n\rangle$從左邊與 $|v\rangle$做內積 <br>
\begin{split}
\langle b_n|v\rangle &=\langle b_n|c_1|b_1\rangle+\langle b_n|c_2|b_2\rangle+\ldots+\langle b_n|c_n|b_n\rangle \\
&= c_1\langle b_n|b_1\rangle+c_2\langle b_n|b_2\rangle+\ldots+c_n\langle b_n|b_n\rangle \\
&\text{因為}\langle b_i|b_j\rangle=0 \space\text{與} \langle b_i|b_i\rangle=1\\
&=0+0+\ldots+c_n \\
&=c_n
\end{split}
</div>

因此我們可以把向量改寫成：
\begin{split}
|v\rangle = \langle b_1|v\rangle|b_1\rangle+\langle b_2|v\rangle|b_2\rangle+\ldots+\langle b_n|v\rangle|b_n\rangle
\end{split}
今天我們如果要計算向量的長度，則（以下省略根號）：
\begin{split}
\langle v|v\rangle &=(c_1^*\langle b_1|+c_2^*\langle b_2|+\ldots+c_n^*\langle b_n|)(c_1|b_1\rangle+c_2|b_2\rangle+\ldots+c_n|b_n\rangle) \\
&\text{為了做簡化，我們這裡以二維空間為例} \\
&= c_1^*c_1\langle b_1|b_1\rangle+c_1^*c_2\langle b_1|b_2\rangle+c_2^*c_1\langle b_2|b_1\rangle+c_2^*c_2\langle b_2|b_2\rangle \\
&=c_1^*c_1+0+0+c_2^*c_2 \\
&=c_1^2+c_2^2
\end{split}
