# 狄拉克（Dirac）表示法
## 導言
線性代數是描述量子力學很好的數學工具，一個系統的狀態（量子態）可以用矩陣或向量表示，但頻繁書寫矩陣和向量有些繁瑣，因此知名英國物理學家 Dirac 發明 Bra-Ket 來代替這些矩陣和向量，稱作 Dirac notation

# Bra-Ket
## Ket 向量
Ket 向量代表列向量(column vector）:
\begin{split} |a\rangle = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}\end{split}
n 為向量的維度，向量中的元素是複數，即：
\begin{split} a_1, a_2, \ldots, a_n \in \mathbb{C} \end{split}
Ket 也可以這樣表示
\begin{split}|a\rangle = [a_1, a_2, \ldots, a_n]^T\end{split}

<div style="background-color: #E0E0E0; color: #333; padding: 15px; font-style: italic; border-radius: 5px;">
範例：<br>
在量子計算中，量子位元（Qubit）的狀態（可以先想成某個東西的狀態）可以用矩陣表示，為了書寫方便，我們較常用>在量子計算中，量子位元（Qubit）的狀態（可以先想成某個東西的狀態）可以用矩陣表示，為了書寫方便，我們較常用 Ket 來代表之：<br>
\begin{split}|0\rangle=\begin{bmatrix}1 \\0\end{bmatrix}=| ⭡ 〉\end{split} <br>
\begin{split}|1\rangle=\begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix}=| ⭣ 〉\end{split}
</br>
</div>

## Bra向量

Bra 向量則是 Ket 向量的 dagger
\begin{split}\langle a| = [a_1^*, a_2^*, \ldots, a_n^*]\end{split}
同上，向量中的元素是複數
\begin{split} a_1, a_2, \ldots, a_n \in \mathbb{C}\end{split}

而Bra向量也可以寫成
\begin{split}|a\rangle^\dagger = \langle a| = [a_1^*, a_2^*, \ldots, a_n^*] \quad \text{且} \quad \langle a |^\dagger = |a\rangle = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}\end{split}

每個量子態都可以用Ket向量來表示，並且每個Ket向量都有相對應的Bra向量。這些概念在描述量子系統和進行量子計算時至關重要。

# Dirac表示法的應用
## 向量內積
假設現在有兩個向量：
\begin{split} |a\rangle = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}\end{split}
\begin{split} |b\rangle = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}\end{split}
原本的內積就能透過以上代號，書寫成：
\begin{split}\vec{a} \cdot \vec{b}=[a_1^*, a_2^*, \ldots, a_n^*]\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}=a_1^*b_1+a_2^*b_2+\ldots+a_n^*b_n=\langle a|b\rangle\end{split}

<div style="background-color: #E0E0E0; color: #333; padding: 15px; font-style: italic; border-radius: 5px;">
範例：<br>
\begin{split}\langle1|0\rangle=[0,1]\begin{bmatrix}1 \\0\end{bmatrix}=0\cdot1+1\cdot0=0 \end{split}
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## 向量長度
下式是我們計算向量長度的公式，以向量 $\vec{a}=(1,0)$ 為例：

\begin{split} ||\vec{a}||=\sqrt{1^2+0^2}=1 \end{split}
改用 Bra-Ket 代號表示，則為：
\begin{split}\sqrt{\langle a|a\rangle}=1 \end{split}

# 結論
Dirac表示法的優勢在於其簡潔性和直觀性，它允許我們用簡潔的數學語言來描述量子態之間的轉換、疊加以及測量。