# 量子計算的數學之鑰：線性代數入門

> 高中：「量子力學好有趣！」
> 大一：「場論好有趣！我要學廣義相對論！微分幾何好帥」
> 大二：「早知道好好學線性代數」
> 大三：「早知道好好學線性代數」
> 大四：「早知道好好學線性代數」
> 碩士：「早知道好好學線性代數」
> 博士：「早知道好好學線性代數」
> 寫這篇文章的我：「早知道好好學線性代數」

想必讀者已經閱讀完量子計算相關的[科普文章](https://www.entangletech.tw/courses/quantum-computer-basics)，仍對量子計算抱持相當高的興趣，想更了解量子計算究竟為何物，作者能懂這種心情，不過，在真的進入[量子計算課程](https://www.entangletech.tw/courses/quantum-algorithm)前我們得先面對你無法逃避的東西，沒錯，就是數學，數學乃描述科學的共通語言，量子計算亦是，想要揭開量子計算的面紗，數學是不可或缺的工具 (數學系不要生氣氣)。

## 線性代數
幸運地是，經過幾代物理大神的整理，發現廣大的數學裡，有一個工具非常適合描述量子力學與量子計算，即本系列文章的主題:線性代數。沒有線性代數，量子力學將會是一堆難看的積分與傅立葉轉換，借助線性代數的力量，我們可以把許多難看的積分寫成簡單易懂的方程式，這就是為何要學習線性代數的原因。

且慢莫荒莫害怕，線性代數四個字雖然聽起來很難以接近，我們也懂不是所有讀者都是天賦異稟，因此在本系列我們將會從最基本開始一步一步建構了解量子計算所需最低的數學基礎，當然，如果讀者日後是要做純理論研究工作，你在閱讀完本系列文章後，要自行去閱讀更進階的教科書，但筆者相信屆時你將更容易踏入境界更高的線性代數，享受這趟旅程。

線性代數聽起來遙遠，但其實就在你身旁，從你高中開始接觸的向量與矩陣，就是線性代數的範疇，如果你還沒接觸過也沒關係，我們將在前面兩章介紹基本的向量與矩陣，不過因為我們的重點不在此，因此我們僅會簡略介紹，許多更詳細的地方你仍須透過正規高中教材補充，中間我們會打岔介紹何謂複數，在有了這些基礎後，我們將深入淺出地介紹大學線性代數內容，包括透過更[簡略的符號](https://www.entangletech.tw/lesson/math-02)描述矩陣、描述向量的[基本單位](https://www.entangletech.tw/lesson/math-03)、如何更數學地描述[垂直](https://www.entangletech.tw/lesson/math-04)、量子計算中常用的[矩陣](https://www.entangletech.tw/lesson/math-07)，與量子力學的[核心方程式](https://www.entangletech.tw/lesson/math-08)，在結尾我們還有兩篇補充文章給意猶未盡的讀者，包括數學上的空間，以及解釋量子機器學習會用到的數學-對稱與群論，讀者也都不必害怕，我們會搭配和藹可親的圖片做輔助，而非硬梆梆的數學定義。

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<img src="https://hackmd.io/_uploads/Sk0iNXgXZe.svg" alt="vector add" width="70%"/>
<br>這是未來會出現的圖片輔助讀者理解，看～多和藹可親
<br>
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## 線性代數與量子力學
一般教科書第一章會直接跟你說，量子物理（計算）就是用線性代數，然後直接進入正題，那有些讀者可以接受就繼續往下閱讀，有些讀者會抱著疑問，越讀越困惑，因此我們會在這節簡短介紹線性代數是如何引入量子力學。

這故事起源自 1925 年，是個人類還在從古典力學過渡到量子力學的年代，那時 Bohr 已經提出著名的氫原子模型，完美地解釋氫原子光譜，當時對原子的認識，就像是普遍科普書上繪畫的這種行星繞太陽模型，電子繞著原子核轉：

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<img src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/93/Bohr_atom_model.svg" alt="vector" width="40%"/>
<br><p>Bohr 氫原子模型
<br>picture comes from Wiki</p>
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德國物理學家 Heisenberg（海森堡）對此感到疑惑，他認為沒人真的看過電子是怎麼在軌道上跑動，那就不該用無法「觀測」的電子軌道作為變量來建構理論，應該要專注在可以「量測」到的東西：光譜

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<img src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/60/Emission_spectrum-H.svg" alt="vector" width="100%"/>
<br><p>氫原子部分光譜
<br>picture comes from Wiki</p>
</div>

Heisenberg 嘗試改用光譜的頻率和強度建構理論，他發現電子躍遷有點複雜，像是電子從軌道 $5$ 躍遷到軌道 $2$，電子可以是 $5\rightarrow 4\rightarrow 2$、$5\rightarrow 2$、$5\rightarrow 4\rightarrow 3\rightarrow 2$ 等等，這將使得計算變得複雜，因此他需要一個表達紀錄所有可能的躍遷。

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<img src="https://hackmd.io/_uploads/B1wTKZSmZx.jpg" alt="vector" width="60%"/>
<br>不是這個海森堡</p>
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當他嘗試要用這樣的表格計算常見的「能量」、「動量」等等物理量時，他發現不能只是單純地把兩個數字相乘，而是要建立一個規則定義兩個表格如何相乘，他找到的方法是把所有可能的「中間狀態」都加總起來，結果登！算出來的東西與實驗結果相符，當時 Heisenberg 認為自己發現了不得了的東西，然而，當他拿這想法給他的指導教授 Born 時，Born 說：「這不就是矩陣乘法嗎？這數學系大二都會」。

這就是人類第一次把線性代數引入量子力學的故事，雖然 Born 當下認出這個表格是矩陣，但在那年代沒多少物理學家認識矩陣，也沒人想到矩陣與物理的關係，即便如此，Born 意識到這意義非凡，找來數學物理學家 Jordan 一同將理論完善，也因此得出今天耳熟能詳的「不確定性原理」（舊名：測不準原理），這是矩陣在量子力學的第一個應用。

論文發表後兩週，大神 Dirac 看到這成果非凡，將 Heisenberg 的想法發揚光大，成為今天大家看到的量子力學。

> 以上只是歷史簡述，實際發展過程會再複雜一點點

## 系統要求（？）
如同許多軟體都有最低支援的作業系統要求，本系列文章也是，我們將假設讀者有以下的數學概念，基於此做教學，如果以下概念讀者第一次碰觸，可以先透過網路搜尋或是詢問 Gemini 來補充，這些都很容易找到教學資源，也不難。

### 笛卡爾平面座標
一種常見簡易標示物體位置的座標，找一處設定為中心點，原點 $O$，劃出水平線為 $X$ 軸，畫出與 $X$ 軸垂直的縱線為 $Y$ 軸，設定原點座標為 $(0,0)$，第一個數字表示此處在 $X$ 軸上的位置，往右為正方向，往左為負方向，第二個數字表示此處在 $Y$ 軸上的位置，往上為正方向。

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<img src="https://hackmd.io/_uploads/HJDY9yBmWl.svg" alt="vector" width="60%"/>
<br>笛卡爾座標</p>
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再加上 $Z$ 軸，就是三維笛卡爾座標

<div style="text-align: center;">
<img src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a6/3D_Cartesian.svg" alt="vector" width="60%"/>
<br>三維笛卡爾座標
<br>picture comes from Wiki</p>
</div>

### 實數、整數
平常你所知道的 $\cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots$，這些數字統稱為「整數」，數學符號 $\mathbb{N}$。整數加上小數就是有理數 $\mathbb{Q}$，有理數可以寫成分數 $\frac{p}{q}$ 且 $p,q$ 皆為整數 ($p,q\in\mathbb{N}$ 且 $q$ 不為 $0$)，那無法寫成這種形式的都稱作無理數，像是 $\sqrt 2, \pi$ 等等。有理數加上無理數就是實數，記做 $\mathbb{R}$。

<div style="text-align: center;">
<img src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cb/Number-systems_%28NZQRC%29.svg" alt="vector" width="100%"/>
<br>N 為自然數，就非零正整數（有些領域認為 0 也是自然數），C 會在未來的單元介紹
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### 三角函數
前面兩個概念都還簡單易懂，在國中多少都學過，而三角函數，可能是部分還沒上高中的學生，聽過卻不解其意，從而在內心深處對之感到害怕，幸運地是，在本系列中，我們三角函數用得不多，只要知道 $\cos$ 和 $\sin$ 就好：

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<img src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/91/Z-Triangle.PNG" alt="vector" width="50%"/>
<br>picture comes from Wiki
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</div>

\begin{align}
\sin{x}=\frac{a}{c}, \space \cos{x}=\frac{b}{c}
\end{align}

以及

\begin{align}
\sin^2{x}+\cos^2{x}&=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}\\
&=\frac{a^2+b^2}{c^2}\\
&=\frac{c^2}{c^2}\\
&=1
\end{align}