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title: 09 Bloch sphere (上，qubit)
tags: [量子演算法（上）, 基礎教學文章]

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# Bloch Sphere（上）
上面兩節我們利用矩陣描述 qubit 的量子態與 quantum gate 的操作。這一節將介紹如何以可視化圖形來描述 qubit 的狀態，以及 quantum gate 對 qubit 的影響。這種從幾何角度出發的模型，稱作 Bloch sphere。

## 以幾何角度看 qubit
在前一節中，我們知道 qubit 的量子態可以表示為：

\begin{split}
|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle \quad \text{where} \quad |\alpha|^2+|\beta|^2=1
\end{split}

先不考慮虛數的情況下，為了滿足總機率為 $1$ ，機率幅可以表示為

\begin{split}
\alpha=\cos{\frac{\theta}{2}},\quad \beta=\sin{\frac{\theta}{2}} 
\end{split}

因為：

\begin{split}
|\alpha|^2+|\beta|^2=\cos^2{\frac{\theta}{2}}+\sin^2{\frac{\theta}{2}}=1
\end{split}

其中 $0\leq\theta\leq \pi$。所以 qubit 的量子態可以改寫為：

\begin{split}
|\psi\rangle=\cos{\frac{\theta}{2}}|0\rangle+\sin{\frac{\theta}{2}}|1\rangle
\end{split}

畫成圖後，qubit 的狀態可以用單位圓上任一點表示：

<div style="text-align: center;">
    <img src="https://hackmd.io/_uploads/rk4rETB30.svg" 
         alt="2D bloch" width="60%"/>
    <br>
    <p>
    </p>
</div>

因為機率幅可以是複數，我們進一步將這個模型推廣到複數，先定義

\begin{split}
\alpha=e^{i\gamma}\cos{\frac{\theta}{2}},\quad \beta=e^{i(\gamma+\phi)}\sin{\frac{\theta}{2}}
\end{split}

其中

\begin{split}
0\leq\theta\leq\pi \\
0\leq\phi\leq 2\pi
\end{split}

所以 qubit 量子態的完整表示為：

\begin{split}
|\psi\rangle&=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle \\
&=e^{i\gamma}\cos{\frac{\theta}{2}}|0\rangle
+e^{i(\gamma+\phi)}\sin{\frac{\theta}{2}}|1\rangle\\
&=e^{i\gamma}(\cos{\frac{\theta}{2}}|0\rangle+e^{i\phi}\sin{\frac{\theta}{2}}|1\rangle)
\end{split}

其中 $e^{i\gamma}$ 是 global phase，對 $|0\rangle$ 與 $|1\rangle$ 的影響都一樣，且測量後也看不到它的實質影響，所以可以忽略，最終 qubit 的狀態可以表示為：

\begin{split}
|\psi\rangle&=\cos{\frac{\theta}{2}}|0\rangle+e^{i\phi}\sin{\frac{\theta}{2}}|1\rangle
\end{split}

從式中可以看到任意量子態都能用兩個角度，$\theta$ 與 $\phi$，表達，因此可以畫出下圖這樣的球體

<div style="text-align: center;">
    <img src="https://hackmd.io/_uploads/ry5H0TB2A.svg" 
         alt="Bloch" width="60%"/>
    <br>Bloch sphere 示意圖
    <p>
    </p>
</div>

這球稱作 Bloch sphere。球面上任何一點可以用 $\theta$ 和 $\phi$ 兩個角度表達，因此 qubit 的量子態都可以映射到球面上的點。

## Z 軸
先看常見的量子態
\begin{split}
|\psi\rangle=|0\rangle
\end{split}

用上述公式描述的話會是如此：
\begin{split}
|\psi\rangle=\cos{\frac{0}{2}}|0\rangle+e^{i0}\sin{\frac{0}{2}}|1\rangle
\end{split}

<div style="background-color: #E0E0E0; color: #333; padding: 15px; font-style: italic; border-radius: 5px;">
這邊我們會用到歐拉公式 $$e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$$
</div>

其中 $\theta=0^\circ,\phi=0^\circ$，正好對應到球體的北極。

<div style="text-align: center;">
    <img src="https://hackmd.io/_uploads/ByhuCpr30.svg" 
         alt="Bloch Ｚ" width="60%"/>
    <br>最常見的 0 與 1 恰好位於 Bloch sphere 上的北南極
    <p>
    </p>
</div>

同理

\begin{split}
|\psi\rangle&=|1\rangle \\
&=\cos{\frac{180^\circ}{2}}|0\rangle+e^{i0}\sin{\frac{180^\circ}{2}}|1\rangle
\end{split}

其中 $\theta=180^\circ,\phi=0^\circ$，對應到球體的南極。

## X 軸
另一種常見的量子態是對 qubit 作 H gate 操作後的狀態（如果初始狀態為 $|0\rangle$）：

\begin{split}
|+\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt 2}|1\rangle
\end{split}

改用通式表示則為：

\begin{split}
|+\rangle=\cos{\frac{90^\circ}{2}}|0\rangle+e^{i0}\sin{\frac{90^\circ}{2}}|1\rangle
\end{split}

這量子態對應到球面與 X 軸的交接處：

<div style="text-align: center;">
    <img src="https://hackmd.io/_uploads/HkSnZCB3C.svg" 
         alt="Bloch X" width="60%"/>
    <br>|+> 與 |-> 兩種狀態則位於 Bloch 球面上與 X 軸的交界處
    <p>
    </p>
</div>

<div style="background-color: #E0E0E0; color: #333; padding: 15px; font-style: italic; border-radius: 5px;">
記得是 $$\theta=90^\circ$$，不是 $$\frac{90^\circ}{2}$$
</div>

同理，$|-\rangle$ 就剛好在另一側：

\begin{split}
|-\rangle&= \frac{1}{\sqrt 2}|0\rangle-\frac{1}{\sqrt 2}|1\rangle\\
&=\cos{\frac{90^\circ}{2}}|0\rangle+e^{i\pi}\sin{\frac{90^\circ}{2}}|1\rangle
\end{split}

## Y 軸
以下這個量子態

\begin{split}
|i\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}|0\rangle+i\frac{1}{\sqrt 2}|1\rangle
\end{split}

改以通式描述為：

\begin{split}
|+i\rangle=\cos{\frac{90^\circ}{2}}|0\rangle+e^{i\frac{\pi}{2}}\sin{\frac{90^\circ}{2}}|1\rangle
\end{split}

這量子態對應到球面與 Y 軸的交接處，即 $\theta=90^\circ,\phi=90^\circ(\frac{\pi}{2})$ 

同理，與 -Y 軸的交接處對應的量子態是

\begin{split}
|-i\rangle&=\frac{1}{\sqrt 2}|0\rangle-i\frac{1}{\sqrt 2}|1\rangle \\
&=\cos{\frac{90^\circ}{2}}|0\rangle+e^{i\frac{3\pi}{2}}\sin{\frac{90^\circ}{2}}|1\rangle
\end{split}

綜合以上，Bloch sphere 整體長這樣

<div style="text-align: center;">
    <img src="https://hackmd.io/_uploads/SJEQz0H2C.svg" 
         alt="Bloch Y" width="60%"/>
    <br>Bloch sphere 完整示意圖
    <p>
    </p>
</div>

## Qubit 與 Bit
透過 Bloch sphere 的視覺化表示，我們可以清楚看到 qubit 的狀態涵蓋球面上每一個點，這使得 qubit 能夠表示的資訊比經典電腦的 bit 更多；經典電腦的 bit 只能表示球面上 $|0\rangle$ 與 $|1\rangle$ 兩個點，而 qubit 則可以在球面上任意點。在下一節中我們將用幾何角度看 quantum gate 對 qubit 的影響。

<div style="text-align: center;">
    <img src="https://hackmd.io/_uploads/SyuYzRH2C.svg" 
         alt="Bloch Y" width="100%"/>
    <br>（左圖）經典電腦的位元只能表示 0 和 1，相當於 Bloch sphere 上的藍色兩點；（右圖）與量子電腦不同，qubit 能表達的資訊可以是球面上任何一點
    <p>
    </p>
</div>