# 二進位表示法

在[入門系列文章](https://www.entangletech.tw/lesson/popular-02)中我們提到如何用燈泡打造電腦，這些燈泡只有開與關（亮與暗）兩種狀態，透過這兩種狀態便能執行各種運算，從簡單的四則運算到當今火紅的深度學習。

電燈泡這比喻對應到你眼前的電腦或手機，就是電路上電線的有通電和沒通電，或是高電壓與低電壓，即「1」與「0」。為了只透過這兩種狀態做運算，我們必須先將問題轉化成只有「1」與「0」表達的數學問題，即二進位制。

<div style="text-align: center;">
<img src="https://hackmd.io/_uploads/r1vJ-MI6p.svg" alt="電燈位元" width="70%"/>
<br>
<p>電腦計算的基本單位是位元，就如同這裡比喻的燈泡，當燈泡為暗時，代表 「0」，亮則代表 「1」，對應電腦裡，沒有電流通過代表 「0」，有電流通過則為 「1」（或是低電壓與高電壓）
</p>
</div>

由於量子電腦也只能處理 0 與 1 的問題，因此二進位制在量子計算上也很重要。

## 十進位轉二進位
### 整數
我們日常使用的數字系統就是十進位制，只使用數字 0 到 9，一旦數字超過 9，就回到 0 並向前進位。同樣地，二進位即數字只有數字 0 和 1，當數字超過 1 時，也回到 0 並向前進位。

<div style="text-align: center;">
<img src="https://hackmd.io/_uploads/HkpdCnvDA.svg" alt=“十進位” width="100%"/>
<br>
<p>
</p>
</div>

我們來看一個簡單的例子，「19+2」。首先，我們從個位數開始計算，「9+2」，（從上圖可知，）9 的下一位是 0，再往下一位是 1，所以個位數變成 1。因為 9+2=11，超過了單位數字可以表達的範圍，所以要進位到十位數。十位數的部分是原來的 1 ，加上從個位數進位的 1，得到 2，最終結果是「21」。

<div style="text-align: center;">
<img src="https://hackmd.io/_uploads/BJV_2nDD0.svg" alt="19+2" width="50%"/>
<br>
<p>
</p>
</div>

將我們熟悉的數字轉成二進位，最簡單的方法就是做除法，取每次除法的餘數就是二進位，直到商為 0。以 77 為例

\begin{split}
77\div 2=38...&1\\
38\div 2=19...&0\\
19\div 2=9...&1\\
9\div 2=4...&1\\
4\div 2=2...&0\\
2\div 2=1...&0\\
1\div 2=0...&1
\end{split}

從最下面往上，將每條式子的餘數從左到右寫出來，即「1001101」，這就是 77 的二進位表示法。圖解如下：

<div style="text-align: center;">
<img src="https://hackmd.io/_uploads/rJZQ92PP0.svg" alt="77 的二進位表示" width="50%"/>
<br>
<p>依照箭頭方向把餘數由左寫到右，即 01001101，通常最左邊的 0 可以省略（就像是 015 我們平常都直接寫 15）
</p>
</div>

以「78」的例子
<div style="text-align: center;">
<img src="https://hackmd.io/_uploads/HJ3n52vD0.svg" alt="78 的二進位表示" width="50%"/>
<br>
<p>78 的二進位表示法為 1001110
</p>
</div>

讓我們看看「77+1=78」的二進位表示法。77 的二進位是 1001101，當我們加 1 時，從個位數開始，1+1 在二進位制中會進位變成 0。下一位原本是 0，加上進位的 1，變成 1。後面的數字保持不變，最終結果是 1001110，即 78 的二進位表示。

<div style="text-align: center;">
<img src="https://hackmd.io/_uploads/ry31GpwPC.svg" alt="77+1=78 的二進位表示" width="50%"/>
<br>
<p>
</p>
</div>

### 小數
小數或說分數，如 78.625 該如何用二進位表示呢？首先，把整數和小數分開算，整數的部分用上述方法轉成二進位，小數部分下文會提及怎麼算，算完後以小數點為分界，小數點左邊放整數的二進位表示，右邊則放小數的二進位表示。

以 78.625 為例，拆成整數「78」和小數「0.625」兩部分。整數的部分從上述方法得出，78 的二進位表示法是 1001110。小數的部分，整數的時候是除 2，那小數的時候是乘 2，即：

\begin{split}
0.625\times 2=1.25=&1+0.25\\
0.25\times 2=0.5=&0+0.5\\
0.5\times 2=1=&1+0
\end{split}

將結果，從式子中由上到下，由左到右書寫出「101」，再加小數點，即「.101」（或 0.101），這是 0.625 的二進位表示法。

因此 78.625 的二進位表示法為 1001110.101

### 負數
負數，如 -2 的二進位表示法，在初階量子計算中很少用到，因此在這裡不做詳細介紹。如果有興趣想了解更多，可以參看這篇[科普文章](https://kopu.chat/%E4%B8%96%E7%95%8C%E4%B8%8A%E5%8F%AA%E6%9C%8910%E7%A8%AE%E4%BA%BA%EF%BC%8C%E4%B8%80%E7%A8%AE%E6%98%AF%E6%87%82%E4%BA%8C%E9%80%B2%E4%BD%8D%E7%9A%84/)

## 二進位轉十進位
將數學問題（像是 77+1）轉成二進位給電腦做計算，計算結果是不太直觀的二進位表示法，需要轉回我們熟悉的十進位，呈現在螢幕上，我們才能直觀解讀計算結果。

我們知道，將 78 轉成二進位是除 2，那要逆回來變成十進位就是乘 2，在介紹如何乘 2 回來之前，我們用另一個角度回顧十進位：

<div style="text-align: center;">
<img src="https://hackmd.io/_uploads/HJ2Cs6vDR.svg" alt="78 十進位表示法" width="50%"/>
<br>
<p> 70+8 等於 78
</p>
</div>

從上圖可知，十進位制的意思就是以 10 為基底（即 $10^n$）表達數字

\begin{split}
78_{10}&=7\times 10+8\times 1\\
&=7\times10^1+8\times10^0
\end{split}

同樣道理，二進位制就是以 2 為基底表達數字：

<div style="text-align: center;">
<img src="https://hackmd.io/_uploads/S1dYR6vwA.svg" alt="1001110 轉成十進位" width="100%"/>
<br>
<p>
</p>
</div>

把圖上數字都加起來

\begin{split}
1001110_2&=1\times2^6+0\times2^5+0\times2^4+1\times2^3+1\times2^2+1\times2^1+0\times2^0\\
&=64+0+0+8+4+2+0\\
&=78
\end{split}

如果是小數點，剛剛是透過乘 2 轉成二進位，那逆回來十進位就要除 2，不過我們可以用更 general 的方法來表達，即 $\times 2^{-n}$，以 1001110.101 為例：

<div style="text-align: center;">
<img src="https://hackmd.io/_uploads/rkbcxRDvR.svg" alt="1001110.101 轉成十進位" width="100%"/>
<br>
<p>看粉色的部分，透過除 2 的方式將小數點的部分從二進位轉回十進位
</p>
</div>

## 後記
學會了這些方法後，你將能輕鬆地將任何數字從十進位轉成二進位，再轉回來，更進一步，你還可以轉換到其他進位制，如三進位、十六進位等。

除了數字以外，文字、符號、圖像與影片等都能用二進位表示，有興趣的話可以在網路上搜尋相關資料。

在下一篇文章，我們將介紹電腦的「邏輯閘」操作，並說明如何透過邏輯閘來操作二進位數字，以實現各種計算和運算。