# 正交（Orthogonality）
在線性代數中，Orthogonality（正交）是一個非常重要的概念，它直觀的描述了向量之間的垂直關係，其在多個領域如數學、物理學、工程學等都有廣泛的應用。

## 定義
在線性代數中，如果兩個向量的內積為 $0$，則這兩個向量的關係稱為 orthogonality，以幾何的語言做說明，就是這兩個向量互相垂直。

以一維向量為例，今天空間中有兩個一維向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ ，它們的 orthogonality 條件是：

\begin{split}\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\end{split}

現在我們將其推廣到二維空間中，二維向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的 orthogonality 條件是：

\begin{split}\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1+a_2b_2 = 0
\end{split}

<div style="background-color: #E0E0E0; color: #333; padding: 15px; font-style: italic; border-radius: 5px;">
<p>範例：</p>
<p>假設 \(\vec{a}=(1,0)\)，\(\vec{b}=(0,1)\)，則</p>
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = [1,0] \cdot
\begin{bmatrix}
0 \\
1
\end{bmatrix}
= 1\cdot0 + 0\cdot1 = 0
\]
<p>代表這兩個向量互相垂直（即 orthogonality）</p>
</div>

<div style="text-align: center;margin-top: 20px;">
<img src="https://hackmd.io/_uploads/BkKThdhpa.svg" alt="正交" width="80%"/>
<br>
<p>當兩個向量內積為 0 時，代表這兩個向量互相垂直，也就是 "orthogonal"
</p>
</div>

同理，在N維空間中，$Ｎ$ 維向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的正交條件是：

\begin{split}\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1+a_2b_2\ \ ... \ +a_Nb_N = 0 \end{split}

此處的 $a_1,a_2,a_3$ ... $a_N$ 和 $b_1,b_2,b_3$ ... $b_N$ 分別為 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 兩個向量在 $N$ 維空間上的分量，即：

\begin{gather*}\vec{a}=(a_1,a_2,a_3,...,a_N)\end{gather*}

\begin{gather*}\vec{b}=(b_1,b_2,b_3,...,b_N)\end{gather*}

# 在量子計算上的應用

在量子計算中，我們會需要測量與考慮粒子的自旋狀態，包含垂直方向和水平方向的自旋。用於測量自旋的數學模型將使用正交歸一化基底（orthonormal basis）來描述。與前文所述不同之處在於，數學上我們不使用字母來命名此處基底中的向量，而是使用箭頭。而箭頭的指向則是取決於粒子自旋的方向。以下是常見的自旋基本向量：

\begin{split}
|⭡\rangle \ =
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
\end{bmatrix}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
|⭣\rangle\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
\end{bmatrix}\end{split}

\begin{split}
|⭢\rangle=
\begin{bmatrix}
\frac{{1}}{\sqrt{2}} \\
\frac{{-1}}{\sqrt{2}} \\
\end{bmatrix}
\ \ \ \ \ \ \ \ \
|⭠\rangle=
\begin{bmatrix}
\frac{{1}}{\sqrt{2}} \\
\frac{{1}}{\sqrt{2}} \\
\end{bmatrix}
\end{split}

從上式可以清楚看到 $| ⭡ 〉$ 與 $| ⭣ 〉$ 互為 orthogonal，$| ⭢ 〉$與 $|⭠ 〉$ 也互為 orthogonal

<div style="background-color: #E0E0E0; color: #333; padding: 15px; font-style: italic; border-radius: 5px;">
$\langle⭡|⭡\rangle=1$, $\langle⭣|⭣\rangle=1$, $\langle⭡|⭣\rangle=0$, $\langle⭣|⭡\rangle=0$ <br>
$\langle⭢|⭢\rangle=1$, $\langle⭠|⭠\rangle=1$, $\langle⭢|⭠\rangle=0$, $\langle⭠|⭢\rangle=0$
</div>