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# System prepended metadata

title: 04 Rabi
tags: [量子硬體]

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# 拉比震盪（Rabi Oscillation）
當我們用單頻雷射光照射一個 two level system（例如原子的電子處於基態或激發態），如果雷射光的能量恰好與系統能級相匹配，會產生一種奇特的現象，稱作 "Rabi oscillation"。這種現象在量子計算中，可以用於控制 qubit 的狀態，以實現量子邏輯閘。

## Rabi oscillaiton 是什麼

當能量與系統能級相同的單頻雷射光持續照射一個 two level system，電子出現在基態（或說激發態）的機率會做週期性變化，如下圖所示：

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    <img src="https://hackmd.io/_uploads/Byk83isfC.svg" alt="Rabi" width="100%"/>
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    <p>縱軸為電子（被觀測後）出現在高能階的機率，橫軸為雷射照射時間，可以看到，電子出現在高（或低）能階的機率會呈週期性變化。這種由雷射與系統強耦合引起的震盪現象我們稱作 Rabi 震盪。
    </p>
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只要雷射持續照射，電子會在特定時間從基態激發到激發態，在下一段特定的時間從激發態躍遷回基態，如此反覆，而在這兩個特定時間區間，電子處在基態與激發態的疊加狀態。這種現象我們稱之為 "Rabi oscillation"（拉比震盪）。

其中電子從基態到激發態，再到基態的這段時間稱作 Rabi 週期，倒數為 Rabi frequency（拉比頻率），記做 $\Omega$，$\Omega$ 會與選用的系統和雷射功率有關。

## 單 Qubit 量子閘
利用 Rabi oscillation ，我們可以在現實中實現 single qubit quantum gate，像是 X, Y, 與 H gate。透過調整雷射光的相位與持續時間實現我們想要的邏輯閘，對應到 Bloch sphere，調控雷射的相位差（$-\phi$）相當於選用 Bloch sphere 哪個軸做選轉，調整雷射持續時間（$\Omega t$）相當於 Bloch sphere 的軸要轉幾度。

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    <img src="https://hackmd.io/_uploads/ry3WsQPXA.svg" alt="Rabi bloch" width="80%"/>
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    <p>對應到 Bloch sphere，雷射的相位差相當於選用哪個軸，照射時間相當於要轉幾度
    </p>
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### X gate
要實現 X gate，只需對 qubit 持續用雷射照射 $\frac{\pi}{\Omega}$ 時間後關掉雷射，qubit 原本處於 $|0\rangle$ 態就會跑到 $|1\rangle$，或是從 $|1\rangle$ 跑到 $|0\rangle$，這種操作我們稱作 "$\pi$ pulse"。其中 $\frac{\pi}{\Omega}$ 相當於在 Bloch sphere 上對 X 軸旋轉 180 度。

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    <img src="https://hackmd.io/_uploads/BypHnXPXA.svg" alt="Rabi-X" width="100%"/>
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    </p>
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### Y gate

對於 Y gate，雷射持續的時間與 $\pi$ pulse 相同，但光的相位與 $\pi$ pulse 差 $\frac{\pi}{2}$，相當於在 Bloch sphere 上對 Y 軸轉 180 度。qubit 原本處在 $|0\rangle$ 態會跑到 $i|1\rangle$，但經過測量後我們看不到負號（$i^2=-1$），我們觀測到的會是 $|1\rangle$。

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    <img src="https://hackmd.io/_uploads/ryO76mv7C.svg" alt="Rabi Y" width="100%"/>
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    <p>
    </p>
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### H gate

對於 H gate，要先做 Z gate，再打一道持續時間是 $\pi$ pulse 一半，相位差 $\frac{\pi}{2}$ 的雷射，相當於在 Bloch sphere 先對 Z 軸轉 180 度，再對 Y 軸轉 90 度。系統從 $|0\rangle$ 跳到 $|0\rangle$ 與 $|1\rangle$ 的疊加態，如下圖所示，量測後有一半的機率處在 $|0\rangle$，有一半的機率會是 $|1\rangle$。

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    <img src="https://hackmd.io/_uploads/rJ1BpQPQR.svg" alt="Rabi" width="100%"/>
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    <p>這邊沒有畫出 Z gate 的部分
    </p>
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H gate 的操作方式也不只有這一種，也有先對 X 軸轉 90 度，再對 Z 軸轉 90 度

### Z gate
在沒有施加外部雷射的時候，qubit 就會繞著 Z 軸做旋轉，相當於 spin model 中的  Larmor precession。當我們要做 Z gate 的時候就是把雷射都關掉，停個 $\frac{\pi}{\omega}$，然後做下一個邏輯閘或是做測量。

Z gate 的實現方法不只這一種，有一種有效的操作方法 ，就是 Z gate 之後的邏輯閘操作，雷射相位都加 $\pi$，因為在操作上並沒有實際做 Z gate（"ture" Z gate），所以稱作 "virtual" Z gate。

## 挑戰
理論上看起來相當容易，但在實際操作中精確控制雷射的持續時間、強度和相位非常有挑戰性。任何微小的誤差都會使系統偏離我們預期，例如，很難精確地讓雷射剛好在 $\frac{\pi}{\Omega}$ 這時間點關掉，多少會有誤差。此外，雷射的強度、相位和頻率的擾動（通稱為 noise）雖在日常實驗中影響較小，但在量子尺度上，即使是微小的 noise 也可能對系統產生顯著的不利影響，導致實際結果與預期有所偏差。為了降低 noise 對系統造成的影響，有人提出另一種實現方法，我們將在下一篇做介紹。

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    <img src="https://hackmd.io/_uploads/r16Pu8vXC.png" alt="Rabi" width="70%"/>
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    <p>理想上的 X gate 操作是圖中藍色虛線，沿著 X 軸轉 180 度，但在現實中，因為雷射強度、相位差等等會有擾動，實際上 qubit 狀態會像是圖中的紅色線左右偏移
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        Picture come from doi:10.1038/s41534-022-00586-4
    </p>
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