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title: 12 Qubits （下）
tags: [量子演算法（上）, 基礎教學文章]

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# 多個量子位元 （下）：量子糾纏
在上一節中，我們介紹了如何用數學語言描述多個 qubits 的狀態，並以兩個 qubits 為舉例說明。本節將進一步探討當有多個 qubits 時，可能會出現一種特別的物理現象：量子糾纏（Entanglement）。如果你對這概念還很不熟悉，可以先參考[入門系列](https://www.entangletech.tw/lesson/popular-05)來了解基本概念，接下來我們將說明如何用數學語言來描述糾纏態。

## Product states
有些量子態可以被拆成多個獨立 qubits 狀態的 tensor product，這樣的狀態我們稱作 produce state。例如：

\begin{split}
|Q_1Q_2\rangle&=\frac{1}{2}(|00\rangle-|01\rangle+|10\rangle-|11\rangle) \\
&=\underbrace{\frac{1}{\sqrt{2}} 
(|0\rangle + |1\rangle)}_{|+\rangle} \otimes 
\underbrace{\frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle - |1\rangle)}_{|-\rangle} \\
&=|+\rangle \otimes |-\rangle \\
&=|+\rangle |-\rangle 
\end{split}

這意味著當 qubits 的狀態可以用多個 Bloch sphere 單獨表示時，這量子態我們稱作 product state（或是 simply separable states）。

<div style="text-align: center;">
    <img src="https://hackmd.io/_uploads/SJLpF4D3A.svg" alt="produce state" width="90%"/>
    <br>上面 Q1Q2 的量子態可以用兩個 Bloch sphere 可視化
    <p>
    </p>
</div>

你可以動手嘗試分解以下量子態：

\begin{split}
\frac{1}{2\sqrt{2}}(\sqrt{3}|00\rangle-\sqrt{3}|01\rangle+|10\rangle-|11\rangle)
\end{split}

回到 $Q_1Q_2$，如果我們先測量 $Q_1$，無論結果是 $|0\rangle$ 還是 $|1\rangle$，$Q_2$ 的量子態依然保持 $|0\rangle|-\rangle$ 或 $|1\rangle|-\rangle$，測量一個 qubit 並不會影響到另一個 qubit 的狀態，記得這句話，這將與下面要提到的 entangled state 截然不同。

## Entangled state（糾纏態）
如果一個量子態是無法拆解單獨 qubits 狀態的 tensor product，也就是說無法用多個 Bloch sphere 表示多個 qubits 的狀態，這樣的量子態稱作 Entangled states。比方說

\begin{split}
|Q_3Q_4\rangle=|\Phi^+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle)
\end{split}

是不是很難用兩個 Bloch sphere 表示這量子態。雖然 Bloch sphere 對於單個 qubit 的量子態圖示化很有幫助，卻無法應用在多個 qubits 上，會遇到許多無法表示的量子態。

假設我們先測量 $Q_3$，無論測量結果是 $|0\rangle$ 還是 $|1\rangle$，$Q_4$ 的狀態都會相應地變成相同的 $|0\rangle$ 或 $|1\rangle$。這意味著測量其中一個 qubit 的狀態會直接影響到另一個 qubit 的狀態，這種狀態就稱之為「糾纏」。

常見的糾纏態有以下四種：
\begin{split}
|\Phi^+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle) \\
|\Phi^-\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle-|11\rangle) \\
|\Psi^+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle+|10\rangle) \\
|\Psi^-\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle-|10\rangle)
\end{split}

<div style="background-color: #E0E0E0; color: #333; padding: 15px; font-style: italic; border-radius: 5px;">
量子糾纏在科普文章和影視作品中常被解釋為：當測量一個 qubit（或自旋，spin）為 0 （或 spin向上），另一個 qubit 就會是 1（或 spin 向下）這種糾纏態對應於上式中的 $|\Psi^+\rangle$（或是 $|\Psi^-\rangle$）
</div>

這四種狀態稱之為 Bell state。他們具有最大糾纏態（maximally entangled states），測量其中一個 qubit 的狀態會完全確定另一個 qubit 的狀態。

### partially entangled states
為了更好地了解 maximally entangled states，我們來看看什麼是「部分糾纏態」（partially entangled states）。假設有個量子態是：

\begin{split}
|Q_5Q_6\rangle=
\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}|00\rangle+
\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}|01\rangle+
\frac{\sqrt{3}}{4}|10\rangle+
\frac{1}{4}|11\rangle
\end{split}

首先，你可以嘗試看看，這無法寫成 product state，因此他是糾纏態沒錯。當我們測量 $Q_5$，得到 $|0\rangle$ 的機率為 $\frac{3}{4}$，此時 $Q_6$ 的狀態會變為：

\begin{split}
|Q_5Q_6\rangle&=
\frac{1}{\sqrt{2}}|00\rangle+
\frac{1}{\sqrt{2}}|01\rangle \\
&=|0\rangle \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)
\end{split}

而當 $Q_5$ 測量為 $|1\rangle$，其機率為 $\frac{1}{4}$，此時 $Q_6$ 的狀態會變成：

\begin{split}
|Q_5Q_6\rangle&=
\frac{\sqrt{3}}{2}|10\rangle+
\frac{1}{2}|11\rangle \\
&=|1\rangle (\frac{\sqrt{3}}{2}|0\rangle+\frac{1}{2}|1\rangle)
\end{split}

由此可見，測量 $Q_5$ 後的確影響 $Q_6$ 的狀態，一個情況直接變成 $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)$，另一個則為 $\frac{\sqrt{3}}{2}|0\rangle+\frac{1}{2}|1\rangle$，但 $Q_6$ 的變化並非完全被確定，仍是一種糾纏台，因此被稱為「部分糾纏」。

## 總結
這兩節中，我們介紹了如何用數學語言描述多個 qubit 的狀態，以及了解什麼是量子糾纏。接下來，我們將介紹可以同時操作多個 qubits 的 quantum gate。