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title: 15 測量
tags: [量子演算法（上）, 基礎教學文章]

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# 測量
在量子計算中，qubit 的量子態處於疊加或糾纏態，過程中我們無法確定每個 qubit 的具體狀態（雖然可以用前面學到的內容推算每個 qubit 的理想狀態，但當 qubits 數量增加時，會越來越難以計算）。只有在計算完成後，對這些 qubits 做「測量」（或說觀測），qubits 的狀態才會出現是 $|0\rangle$ 或是 $|1\rangle$。

<div style="text-align: center;">
    <img src="https://hackmd.io/_uploads/rkMP4Xo20.svg" 
         alt="measurement" width="50%"/>
    <br>測量的符號
    <p>
    </p>
</div>

例如，考慮以下電路

<div style="text-align: center;">
    <img src="https://hackmd.io/_uploads/ryaFNQinR.svg" 
         alt="measurement example" width="60%"/>
    <br>
    <p>
    </p>
</div>

對初始狀態為 $|0\rangle$ 的 qubit 做 H gate，然後再測量它。在測量前，qubit 處於 $|0\rangle$ 與 $|1\rangle$ 的疊加態：

\begin{split}
|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt 2}|1\rangle
\end{split}

測量後，我們有 50% 的機率看到 qubit 為 $|0\rangle$，50% 的機率看到 $|1\rangle$。然而，只測量一次的話，只會看到 $|0\rangle$ 或 $|1\rangle$，無法知道測量前 qubit 處於什麼狀態。

因此，我們會對 qubit 做多次測量，例如 1024 次測量，理論上應該有 512 次測量結果是 $|0\rangle$，另外 512 次是 $|1\rangle$。從這樣的統計結果，可以推測 qubit 在測量前處於疊加態，且機率各一半。

<div style="text-align: center;">
    <img src="https://hackmd.io/_uploads/ByDhVmo2C.svg" 
         alt="measurement result" width="60%"/>
    <br>理想情況下，對 qubit 做 1024 次測量，結果會有 512 次測量看 0，另外 512 次看到 1
    <p>
    </p>
</div>

## 在不同 basis 下測量
前面討論的測量是基於 Z-basis，（即熟悉的 $|0\rangle$ 與 $|1\rangle$），對應到 Bloch sphere 北極與南極（Ｚ 軸）。

<div style="text-align: center;">
    <img src="https://hackmd.io/_uploads/ByhuCpr30.svg" 
         alt="Bloch Ｚ" width="60%"/>
    <br>前面介紹的測量結果都是基於 Z-basis，對應到 Bloch sphere 的 Z 軸
    <p>
    </p>
</div>

不過，沒有規定測量只能在 Z-basis 上進行，Bloch sphere 上任何對應的兩點都可以，我們稱之為 [basis](https://www.entangletech.tw/lesson/math-03)，例如 $|+\rangle$ 與 $|-\rangle$（對應 X 軸），以及 $|i\rangle$ 與 $|-i\rangle$（對應 Y 軸） 都可以是測量的 basis。接下來，我們將探討在不同 basis 下的測量結果。

假設 qubit 處於如下狀態

\begin{split}
|\psi\rangle=\frac{\sqrt{3}}{2}|0\rangle+\frac{1}{2}|1\rangle
\end{split}

以 Z-basis 做測量，有 $\frac{3}{4}$ 的機率看到 $|0\rangle$，$\frac{1}{4}$ 的機率看到 $|1\rangle$。

<div style="text-align: center;">
    <img src="https://hackmd.io/_uploads/BksU8mjnC.svg" 
         alt="measure in other basis" width="80%"/>
    <br>例子中的量子態在 Bloch 球上的位置，位於 X 軸上方 30 度
    <p>
    </p>
</div>

如果改用 $|+\rangle$ 與 $|-\rangle$ 為 basis 做測量（從上圖可以看出，藍點所在位置距離 $|+\rangle$ 比較近，可以預期測量到處於 $|+\rangle$ 的機率會比較高）：

我們知道

\begin{split}
|0\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}(|+\rangle+|-\rangle) \\
|1\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}(|+\rangle-|-\rangle)
\end{split}

將其代入剛剛的式子

\begin{split}
|\psi\rangle&=\frac{\sqrt{3}}{2}|0\rangle+\frac{1}{2}|1\rangle \\
&=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{\sqrt 2}(|+\rangle+|-\rangle)+\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt 2}(|+\rangle-|-\rangle) \\
&=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}|+\rangle+\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt 2}|-\rangle
\end{split}

測量後，看到 qubit 為 $|+\rangle$ 的機率為：

\begin{split}
|\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}|^2=\frac{\sqrt 3+2}{4} \approx 0.93 =93\%
\end{split}

看到 $|-\rangle$ 的機率為：

\begin{split}
|\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}|^2=\frac{-\sqrt 3+2}{4} \approx 0.07 =7\%
\end{split}

同理，若以 $|i\rangle$ 與 $|-i\rangle$ 為 basis 測量（從圖中可以看出，藍點所在位置與 $|i\rangle$ 和 $|-i\rangle$ 的距離一樣，預期測量到這兩個結果的機率是相同）：

我們知道

\begin{split}
|0\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}(|i\rangle+|-i\rangle) \\
|1\rangle=\frac{-i}{\sqrt 2}(|i\rangle-|-i\rangle)
\end{split}

將其帶入剛剛的式子

\begin{split}
|\psi\rangle&=\frac{\sqrt{3}}{2}|0\rangle+\frac{1}{2}|1\rangle \\
&=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{\sqrt 2}(|i\rangle+|-i\rangle)+\frac{1}{2}\frac{-i}{\sqrt 2}(|i\rangle-|-i\rangle) \\
&=\frac{\sqrt{3}-i}{2\sqrt{2}}|i\rangle+\frac{\sqrt{3}+i}{2\sqrt 2}|-i\rangle
\end{split}

測量後，看到 qubit 處於 $|+\rangle$ 的機率是

\begin{split}
|\frac{\sqrt{3}-i}{2\sqrt{2}}|^2=\frac{3+1}{4} = 0.5 =50\%
\end{split}

看到 $|-\rangle$ 的機率是

\begin{split}
|\frac{\sqrt{3}+i}{2\sqrt{2}}|^2=\frac{3+1}{4} = 0.5 =50\%
\end{split}
