# 量子計算中的特殊矩陣

在量子計算中，特殊矩陣扮演著核心角色，用於描述和實現各種量子閘操作。本文將介紹幾種關鍵的特殊矩陣：么正矩陣和厄米矩陣。

## Unitary Matrices（么正矩陣）

如果一個矩陣 $U$ 滿足以下條件：
\begin{gather}
U^\dagger U=UU^\dagger=I=
\left[
\ \begin{array}{cc}
1\ 0 \\
0\ 1 \\
\end{array} \
\right]
\end{gather}

（其中 $\dagger$ 為共軛轉置）我們就會稱這矩陣 $U$ 是 unitary

<div style="background-color: #E0E0E0; color: #333; padding: 15px; font-style: italic; border-radius: 5px;">
範例： <br>
量子計算中所有的邏輯閘都可以用矩陣做表示，比方說 Hadmard 閘可以用以下矩陣做表示：<br>
\begin{gather}H = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{gather} <br>
而這矩陣是一種 unitary 矩陣，所以它將滿足 <br>
\begin{gather}H^\dagger H=HH^\dagger=I\end{gather} <br>
量子邏輯閘都是 unitary，意味著量子計算具有可逆性
</div>

## Hermitian Matrices（厄米矩陣）

如果一個矩陣 $H$ 滿足以下條件：
\begin{gather}H^\dagger ＝H\end{gather}
也就是說矩陣等於其共軛轉置矩陣，矩陣中每一個第i行第j列的元素都與第j行第i列的元素的複數共軛，這時候我們就稱此矩陣為 Hermitian matrices。

<div style="background-color: #E0E0E0; color: #333; padding: 15px; font-style: italic; border-radius: 5px;">
範例： <br>
\begin{split}\begin{bmatrix} 1 & 2+3i \\ 2-3i &3 \end{bmatrix}^{\dagger}=\begin{bmatrix} 1 & 2+3i \\ 2-3i &3 \end{bmatrix}\end{split}
</div>

Hermitian matrices 在量子計算與量子力學上扮演關鍵角色，這與特徵向量（eigenvector）有關，可以參看後面的文章