# 量子電路
就像經典電腦一樣，在了解位元與邏輯閘後，我們可以組成這些元素來構建邏輯電路進行數學計算。量子電腦也是如此，當我們了解了 qubit 和 quantum gate 後，也可以利用它們來組合電路（稱作量子電路），以解決各種問題。

## 量子電路
量子電路的畫法與五線譜有些相似。閱讀量子電路時，要從上往下，由左而右閱讀：

<div style="text-align: center;">
<img src="https://hackmd.io/_uploads/HkDJa6ihA.svg"
alt="Quantum circuit" width="100%"/>
<br>量子電路的樣貌，閱讀時從上到下（量子位元），從左到右（量子閘）
<p>
</p>
</div>

從最左邊開始，由上往下，每一條水平線都代表一個 qubit，幾條線代表有幾個 qubits。當需要以 Bra-Ket 記號書寫 qubit 的狀態時，習慣由上到下讀取 qubit 的狀態，再由左而右書寫。以圖中為例，qubit 的初始狀態為 $|100\rangle$。

然後由左而右閱讀，線上每個 gate 代表對 qubit 進行的 gate 操作，從左邊開始，到右邊結束。

<div style="text-align: center;">
<img src="https://hackmd.io/_uploads/B1ZwXAi3C.svg"
alt="Quantum circuit" width="100%"/>
<br>畫成流程圖就是長這樣
<p>
</p>
</div>

這種閱讀方式和我們在[數位邏輯電路](https://www.entangletech.tw/lesson/basic-algorithm-03)中學習的非常類似：

<div style="text-align: center;">
<img src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d9/Half_Adder.svg"
alt="半加法器" width="40%"/>
<br>
<p>由上往下看，這個電路有兩個位元，由左到右，這兩個位元同時經過 XOR 與 AND 閘
</p>
</div>

接下來，我們會通過幾個例子來練習如何解讀量子電路

## 實例
### 範例一

<div style="text-align: center;">
<img src="https://hackmd.io/_uploads/Sk85T6in0.svg"
alt="Quantum circuit" width="70%"/>
<br>
<p>
</p>
</div>

這個電路只有一個 qubit，初始狀態是 $|0\rangle$，先經過 X gate 操作，再進行測量。在解讀的過程中，我們通常在每經過一個 gate 時，就畫一條虛線，並標號當下 qubit 的狀態，像上圖。

接著我們由左而右解析 qubit 當下的狀態

\begin{split}
\text{初始狀態： } |\psi_0\rangle&=|0\rangle \\
\text{X gate 操作： }\quad |\psi_1\rangle&=|1\rangle \\
\text{測量： }\quad |\psi_2\rangle&=|1\rangle \\
\end{split}

同樣的電路，擴展到 3 個 qubits：

<div style="text-align: center;">
<img src="https://hackmd.io/_uploads/H1m0aTsnA.svg"
alt="Quantum circuit" width="70%"/>
<br>
<p>
</p>
</div>

\begin{split}
\text{初始狀態： } |\psi_0\rangle&=|000\rangle \\
\text{X gate 操作： }\quad |\psi_1\rangle&=|010\rangle \\
\text{測量： }\quad |\psi_2\rangle&=|010\rangle \\
\end{split}

### 範例二
這次換你嘗試自己解讀這電路

<div style="text-align: center;">
<img src="https://hackmd.io/_uploads/ryIlCain0.svg"
alt="Quantum circuit" width="70%"/>
<br>
<p>
</p>
</div>

\begin{split}
\text{初始狀態： } |\psi_0\rangle&=|0\rangle \\
\text{H gate 操作： }\quad |\psi_1\rangle&=\frac{1}{\sqrt 2}(|0\rangle+|1\rangle)
\end{split}

經過測量後有 50% 的機率得到 $|0\rangle$，50% 的機率是得到$|1\rangle$。

### 範例三

<div style="text-align: center;">
<img src="https://hackmd.io/_uploads/ryQXC6shR.svg"
alt="Quantum circuit" width="70%"/>
<br>
<p>
</p>
</div>

\begin{split}
|\psi_0\rangle&=|00\rangle \\
|\psi_1\rangle&=|01\rangle \\
|\psi_2\rangle&=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)\otimes \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle) \\
|\psi_3\rangle&=|01\rangle \\
|\psi_4\rangle&=|01\rangle \\
\end{split}

### 範例四

<div style="text-align: center;">
<img src="https://hackmd.io/_uploads/Sk78Rao2A.svg"
alt="Quantum circuit" width="70%"/>
<br>
<p>
</p>
</div>

\begin{split}
|\psi_0\rangle&=|000\rangle \\
|\psi_1\rangle&=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)\otimes \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)\otimes \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle) \\
|\psi_2\rangle&=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)\otimes\{\text{0 or 1}\}\otimes \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle) \\
|\psi_3\rangle&=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)\otimes\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)\otimes |0\rangle \\
\end{split}

最後測量結果中，第一個和第二個 qubit 有可能是 $|0\rangle$ 或是 $|1\rangle$（出現機率各半），第三個 qubit 則一定是 $|0\rangle$。

### Bell state
下圖這電路，用前面介紹的方法做逐步解讀

<div style="text-align: center;">
<img src="https://hackmd.io/_uploads/r1GuV0in0.svg"
alt="Bell circuit" width="70%"/>
<br>
<p>
</p>
</div>

\begin{split}
|\psi_0\rangle&=|00\rangle \\
|\psi_1\rangle&= \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)\otimes |0\rangle\\
&=\frac{1}{\sqrt 2}(|00\rangle+|10\rangle)\\
|\psi_2\rangle&=\frac{1}{\sqrt 2}(|00\rangle+|11\rangle)=|\Phi^+\rangle\\
\end{split}

測量後，有 50% 的機率觀測到到 $|00\rangle$，另有 50% 的機率觀測到 $|01\rangle$

再稍微複雜一點的電路：

<div style="text-align: center;">
<img src="https://hackmd.io/_uploads/rJFMH0i20.svg"
alt="Bell circuit" width="70%"/>
<br>
<p>
</p>
</div>

\begin{split}
|\psi_0\rangle&=|00\rangle \\
|\psi_1\rangle&=|01\rangle \\
|\psi_2\rangle&=\frac{1}{\sqrt 2}(|0\rangle+|1\rangle)\otimes |1\rangle\\
&=\frac{1}{\sqrt 2}(|01\rangle+|11\rangle)\\
|\psi_3\rangle&=\frac{1}{\sqrt 2}(|01\rangle+|10\rangle)=|\Psi^+\rangle
\end{split}

以上這兩個電路的輸出狀態都是 Bell state。現在輪到你來嘗試，建構電路，組合出以下的量子態：

\begin{split}
|\Phi^-\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle-|11\rangle)
\end{split}

<div style="text-align: center;">
<img src="https://hackmd.io/_uploads/B1ETvCjhA.svg"
alt="Bell circuit" width="70%"/>
<br>
<p>
</p>
</div>

\begin{split}
|\Psi^-\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle-|10\rangle)
\end{split}

<div style="text-align: center;">
<img src="https://hackmd.io/_uploads/HyA5rCjnC.svg"
alt="Bell circuit" width="70%"/>
<br>
<p>
</p>
</div>

## 量子加法器
前面我們知道如何用數位邏輯閘建構一個簡單的加法器（半加法器）：

<div style="text-align: center;">
<img src="https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d9/Half_Adder.svg"
alt="半加法器" width="40%"/>
<br>
<p>
</p>
</div>

這個電路能做到這樣的計算

\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Input} & \text{Output} \\
\hline
A\quad B & C \quad S \\
\hline
0\quad 0 & 0\quad 0\\
\hline
0\quad 1 & 0\quad 1\\
\hline
1\quad 0 & 0\quad 1\\
\hline
1\quad 1 & 1\quad 0\\
\hline
\end{array}

該如何用量子邏輯閘做到一樣的事情呢？不難看出這真值表與 CNOT gate 的運作方式是一模一樣：

<div style="text-align: center;">
<img src="https://hackmd.io/_uploads/Sy6yX_u2C.svg" alt="CX gate" width="30%"/>
<br>
<p>
</p>
</div>

其中 controlled qubit 對應到數位電路的 A，target qubit 對應到 B，經過 CNOT 操作後，controlled qubit 輸出對應到 C，target qubit 則為 S。

## 總結
恭喜你完成這 17 堂課，從經典電腦的位元和邏輯閘，到量子電腦的量子位元和量子邏輯閘，你已經學會了如何組合這些元素來構建量子電路。在下一個系列課程中，我們將帶著你用量子電路建構出複雜的演算法，稱作量子演算法，並利用量子演算法解決實際上我們遇到的問題，敬請期待！