# 基(Basis)
在線性代數中，基（Basis）是理解向量空間及向量空間結構的概念之一。在給定的向量空間中，空間中每一個向量都可以用一組特定的向量（即基向量，basis vector）（以唯一的方式）表示。

## Basis 的定義
下圖是大家習以為常的二維座標，試著從中找出兩個向量，這兩個向量可以表達出二維座標空間內所有的向量

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<img src="https://hackmd.io/_uploads/B1sOo_266.svg" alt="二維座標" width="90%"/>
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沒錯，最常見的兩個向量會是 $(1,0)$ 和 $(0,1)$，透過這兩個向量，就可以表達上圖中所有的向量，比方說 $(-2,1)$ 這個向量：

\begin{gather*}(-2,1) = \ -2\times (1,0) + 1\times(0,1)\ \end{gather*}

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<img src="https://hackmd.io/_uploads/B1WnodnT6.svg" alt="核磁共振" width="90%"/>
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在二維座標中，(1,0) 與 (0,1) 兩個向量可以表達所有的向量
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這時候，我們就稱 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 是這個向量空間的 basis。當然，這向量空間不會只有一種 basis，像是 $(-0.5,1)$ 和 $(1,0.5)$ 也會是這個空間的 basis：

\begin{gather*}(-2,1) = \frac{8}{5}\times (-0.5,1) - \frac{6}{5}\times(1,0.5)\ \end{gather*}

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<img src="https://hackmd.io/_uploads/Bknx2dnT6.svg" alt="核磁共振" width="90%"/>
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向量空間可以有多組 basis，同樣的向量可以改用 (-0.5,1) 和 (1,0.5) 表達
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在數學中，如果向量空間 **V** 中的一組向量 $\boldsymbol{\vec{A}}$ ，能夠以有限的線性組合表達出 **V** 中的每個向量，則 $\boldsymbol{\vec{A}}$ 稱之為向量空間 **V** 的 basis。

> 再補充單元，我們將解釋何謂向量空間

## Basis 的性質
Basis 的性質有以下兩個：
1. Basis 的元素數量等於空間的維數
2. Basis 必須是一個線性獨立

### 元素數量等於空間的維數
一個向量空間可以有多種 basis，所有的 basis 都具有相同的元素數量，元素的數量與向量空間的維數相同。如二維空間之中，basis vector 中的元素數量為 2，三維空間為 3 ... 以此類推。

### 線性獨立的集合
Basis 必須是一個**線性獨立**的集合，也就是向量集合 **A** 中的各個向量必須線性無關(linear independence)。用數學的形式可以表達為：

\begin{gather*} A=\{v_1, v_2, v_3,...v_n\} \end{gather*}

\begin{gather*}a_1v_1 + a_2v_2 +a_3v_3 + \ ...\ +a_nv_n = 0\end{gather*}

如果 $a_1= a_2=a_3\ ...\ = a_n = 0$ 是上式唯一解時，我們就稱向量集合 **A** $\{v_1, v_2, v_3,...v_n\}$ 為 linear independence。

<div style="background-color: #E0E0E0; color: #333; padding: 15px; font-style: italic; border-radius: 5px;">
範例：以二維空間的其中一組 basis，$\{(1,0),(0,1)\}$ 為例，試著找到一組 $a_1$ 和 $a_2$ 可以滿足：<br>
\begin{gather*}a_1\cdot(1,0)+a_2\cdot(0,1)=0\end{gather*} <br>
只有 $a_1=a_2=0$ 的情況下才能滿足上述，這時候我們就會說這組 basis $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 是 linear independence。
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那如果是 linear dependence 會怎麼樣呢？我們做個舉例

<div style="background-color: #E0E0E0; color: #333; padding: 15px; font-style: italic; border-radius: 5px;">
範例：<br>
如果以 $\{(1,1),(2,2)\}$ 做為二維空間的 basis，這組向量集合是 linear dependence，因爲 $a_1=a_2=0$ 不是下式的唯一解：<br>
\begin{gather*}a_1\cdot(1,1)+a_2\cdot(2,2)=0\end{gather*} <br>
只要 $a_1=-2a_2$ 都是上式的解（比方說 $a_1=1,a_2=-1$），你可以輕易地發現這組 basis 無法表達二維空間中所有的向量，比方說： <br>
\begin{gather*}(1,3)=a_1\cdot(1,1)+a_2\cdot(2,2)\end{gather*}
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