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# System prepended metadata

title: VQE

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# VQE
VQE 是一種用於模擬分子能量的演算法，是一種需要傳統電腦與量子電腦一起完成的演算法

## 準備 Qubit Hamiltonian
如今天假設原子核與原子是一個點且忽略 spin-orbit 交互作用與狹義相對論的影響，那分子的總能可以如此表述：

$H=-\frac{\hbar^2}{2}\Sigma_{A}\frac{\nabla^2_A}{M_A}-\frac{\hbar^2}{2m_e}\Sigma_i \nabla^2_i+\Sigma_{A}\Sigma_{B>A}\frac{Z_A Z_B e^2}{4\pi\epsilon_0r_{AB}}-\Sigma_{A}\Sigma_i\frac{Z_A e^2}{4\pi\epsilon_0r_{iA}}+\Sigma_j\Sigma_{i>j}\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0r_{ij}}\quad(1)$

其中 A 和 B 是原子核，i 和 j 是電子，(1) 式的第一項為原子核的動能；第二項為電子的動能；第三項是原子核與原子核之間的排斥位能，$r_{AB}$ 即為原子核 A 和 B 之間的距離，$Z_A$ 和 $Z_B$ 為原子核 A 和 B 的原子數；第四項為電子與原子核之間的吸引力（位能），$r_{iA}$ 即為電子 i 與原子核 A 之間的距離；最後一項為電子之間的排斥力（位能），$r_{ij}$ 為電子 i 和 j 之間的距離

以氫分子 $H_2$ 為例，A 和 B 對應到氫分子的兩個質子，1 和 2 對應到氫分子的兩個電子，$m_p$ 為質子的質量，依照(1)式，氫分子的總能為：

$\begin{align}H&=-\frac{\hbar^2}{2m_p}\nabla^2_A-\frac{\hbar^2}{2m_p}\nabla^2_B-\frac{\hbar^2}{2m_e}\nabla^2_1-\frac{\hbar^2}{2m_e}\nabla^2_2\\&+\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0r_{AB}}-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0r_{1A}}-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0r_{1B}}-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0r_{2A}}-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0r_{2B}}+\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0r_{12}}\quad(2)\end{align}$

$H=-\Sigma_{A}\frac{\nabla^2_A}{2M_A}-\Sigma_{i}\frac{\nabla^2_i}{2}-\Sigma_{i,A}\frac{Z_A}{|r_i-R_A|}+\frac{1}{2}\Sigma_{i\neq j}\frac{1}{|r_i-r_j|}+\frac{1}{2}\Sigma_{A\neq B}\frac{Z_AZ_B}{|R_A-R_B|}$

因為原子核質量較大，我們可以視原子核靜止不動，只有電子在原子核附近運動，這種簡化的過程叫 Bhor-Oppenheimer 近似，如此上述式子可以簡化成：

$H=-\Sigma_{i}\frac{\nabla^2_A}{2}-\Sigma_{i,A}\frac{Z_A}{r_{iA}}+\frac{1}{2}\Sigma_{i\neq j}\frac{1}{r_{ij}}$

接著我們使用多體物理中的二次量子化將上述式子寫成：

$H=\Sigma_{pq}h_{pq}a_p^\dagger a_q+\frac{1}{2}\Sigma_{pqrs}a_p^\dagger a_q^\dagger a_ra_s$

上式二次量子化所需物理與數學知識超過本節範圍，讀者如有興趣可以參考下方補充
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## VQE 的工作流程
