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# 群論
## 群 $G$
### 半群と群
$\forall x,y \in G(x+y \in G)$ を満たす集合 $G$ は **半群**(semigroup)の構造が入る. このとき、演算が一般的な加法を意味しない場合でも $+$ を用いる. 以下 $\times$ などの演算子も同様. (混乱を回避するために $\oplus$ や $\otimes$ を用いてもよい)
- $\forall x(x+e=e+x=x)$を満たす $e \in G$ を **単位元**(identity or uinty)という($0$ で表す)
- $\exists y(x+y=y+x=e)$を満たす $y\in G$ を $x$ の**逆元**(inverse)という($x^{-1}で表す$)

このとき、単位元が存在する半群を**モノイド**(monoid)といい、逆元が存在しかつ
- **結合則** $\forall x,y,z((x+y)+z=x+(y+z))$

を満たすモノイドを**群**(group)という.
- **交換則** $\forall x,y(x+y=y+x)$

を満たす群を**可換群**(commutative group)または**Abel(アーベル)群**(abelian group)という.

イメージとしてはモノイドは加法ができる、群は加法と減法ができる.
### 部分群と生成元
$H(\ne \varnothing) \subset G$ について $G$ の演算による群の構造が入るとき $H$ を $G$の**部分群**(subgroup)といい $H \le G$ と書く. このとき
- **部分群の判定定理** $\forall H(\ne \varnothing) \subset G(H \le G \Leftrightarrow \forall a,b \in H(a^{-1}+b \in H))$
- $G$ と $H \le G$ の単位元は一致する
- $G$ と $H \le G$ の逆元は一致する

を満たす.
- 自明な部分群: $({0}, +), G$

**生成元**(generator)
### 正規部分群 $N$ と剰余群 $G/N$
この項では $+$ を乗法の文脈で用い省略する.
群 $G$ について

- $\forall g \in G, \forall n \in N(gng ^ {-1} \in N)$

を満たす部分群 $N$ を**正規部分群**という.

$\exists g \in G$ について $gS=\{gs|s \in S \subset G \}$を**剰余類**という. $G/N=\{gN|g \in G\}$ とすると
- $(aN)(bN) = a(Nb)N = a(bN)N = (ab)NN = (ab)N$

を満たし、このとき群 $G/N$ を**剰余群**という.
- $0=N$
- $(aN)^{-1}=a^{-1}N$

**cf)**$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{ \overline{0} , \overline{1} , \cdots , \overline{n-1} \}$ について $\overline{x} + \overline{y} = \overline{x+y \mod n}$

もれなくだぶりなく分類することを**類別**という. 集合 $S$ を集合 $A,B$ に類別するとき

- もれがない: $S=A \cup B$
- だぶりがない: $\varnothing = A \cap B$

を満たす.

剰余群は、正規部分群で群を類別(合同な元を同一視)して得られる。
### 参照
- [様々な群](/IA9GxSk1SlmUMoIP0H83Kw)
- [群についての定理](/6GiHzKPjSmuylsDMKajxiQ)
## 環 $A$
- **分配則** $\forall x,y,z(x\times(y+z)=x\times y+x\times z \land (x+y)\times z=x \times z+y \times z)$

を満たす可換群を**環**(ring)という. 定義に乗法の単位元($1$ で表す)を持ち乗法の結合則を満たすことを加える場合がある. 乗法の演算子 $\times$ は度々省略される.
特に$\{0\}$ について $0+0=0$ 、 $0\times0=0$ のとき**0環**という. 以降、環とは0環を含まないものとする.
乗法の交換則を満たす環を**可換環**という.
### 加群
環 $A$ について
- $\forall a \in A, \forall g \in G(a \times g \in G)$
- 分配則? $\forall a \in A, \forall g,h \in G(a\times(g+h)=a \times g+a \times h)$
- 分配則? $\forall a,b \in A, \forall g \in G((a+b)\times x=a \times x+b \times x)$
- 結合則? $\forall a,b \in A, \forall g \in G((a\times b)\times g=a\times(b\times g))$
- $1$ を $A$ の乗法単位元として $\forall g \in G(1\times g=g)$

を満たす群 $G$ を**加群**(左加群)という. 加群は群の公理にスカラー乗法を加えて得られる.
### イデアル $I$ と剰余環 $A/I$
環の部分群でありかつ、その環の加群であるとき**イデアル**(ideal)の構造が入る.

[群](/IrBkRseuTeaj_2k-afa1LA?both#%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E9%83%A8%E5%88%86%E7%BE%A4-N-%E3%81%A8%E5%89%B0%E4%BD%99%E7%BE%A4-GN)と同様に議論して、**剰余環**を定められる.
**cf)**$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{ \overline{0} , \overline{1} , \cdots , \overline{n-1} \}$ について $\overline{x} \times \overline{y} = \overline{x\times y \mod n}$

剰余環は、イデアルで環を類別(合同な元を同一視)して得られる。
- $a\sim b\Leftrightarrow a-b\in I$

イデアル $I$ は
- $I \subset A$
- $\alpha, \beta \in I \Rightarrow \alpha + \beta \in I$
- $a \in A, \alpha \in I \Rightarrow a\times\alpha \in I$

を満たす.
### 整域
- $a\times b=0 \Rightarrow a=0 \lor b=0$

を満たす環を**整域**という. **cf)** $\mathbb{Z} /4 \mathbb{Z}$ は整域ではない: $\overline{2}*\overline{2}=\overline{0}$
- Euclid(ユークリッド)整域: あまりのある割り算ができる環
- Dedekind(デデキント)整域:
### 参照
- [様々な環](/SN4w4y3fR_Gc4ZykkBlZzQ)
## 体 $K$
- $\exists b(a\times b=1)$ を満たす $a$ を**単元**(unit)という

単元全ての集合 $A^*$ に**乗法群**の構造が入る.
$A \backslash \{ 0 \} =A^*$ を満たす環を**可除環**という.
可換可除環を**体**(field)という. そうでない可除環を**斜体**という.

### 参照
- [様々な体](/2v4adv_XQ7qkuIe-bJ-2gQ)
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以下編集中

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### Lie(リー)群
群構造を持つ可微分多様体で、その群構造と可微分構造とが両立するもののことである。

### 完備化

## 同型
### 例
$\{ a: i, b: -1, c: -i, d: 1\}$ について乗法群が入る. また、$\{ a:
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}
, b:
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{pmatrix}
, c:
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{pmatrix}
, d:
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\}$ について乗法群が入る. これらは同型である.

## 円分体
$n$ 乗して初めて $1$ になる根を1の**原始 $n$ 乗根**という. 区間 $[1, n)$ における $n$ と互いに素な整数の個数を表すEuler(オイラー)関数 $\phi(n)$ と、$1$ の原始 $n$ 乗根の個数は等しい. $1$ の原始 $n$ 乗根 $z$ を 偏角 $0 \le \arg z < 2 \pi$ が小さい順に $\zeta_k$ で表す.
$1$ の原始 $n$ 乗根を根に持つ多項式 $\Phi_n(x)$ を $n$ 次**円分多項式**(cyclotomic equation)という. 例えば
- $\Phi_1(x)=x-1$
- $\Phi_2(x)=x+1$

となる. 一般に
- $\Phi_n(x)=\Pi_{nとkは互いに素}(x-\zeta_k)$
- $x^n-1=\Pi_{kはnの約数}\Phi_k(x)$

を満たし、 $x^n-1$ を $n$ 次**円分方程式**という.
**円分体**(cyclotomic field)