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title: 線形代数のメモ
tags: 大学数学
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# 線形代数メモ

走り書く.
「素朴な」というのは「簡潔に理解できる」や「初等的な」などの意味を含む.

## 行列の演算

和,差は同じ形の行列に対して定義される.素朴な定義で問題ない.
積については少し計算の慣れが必要である.
$l\times m$行列と$m\times n$行列に対して定義され,$\ l\times n$行列になる.知っておくと検算でミスしにくくなるかもしれない.

### 行列の積

$$
C = AB \Longrightarrow c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}
$$

と定義される.それぞれの行と列に関するベクトルの内積をとるイメージである.

### 逆行列

$$
(BA)^{-1}=A^{-1}B^{-1}
$$
である.証明は
$$
PQ(Q^{-1}P^{-1})=PQQ^{-1}P^{-1}=E
$$
となるからである.

## 行列式

行列式は正方行列に定義されるスカラー値のことである.
一般の場合は複雑なのでまずは2次の場合から見ていくことにする.
$$
\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix}
= ad - bc
$$
次に3次の場合
$$
\begin{vmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{vmatrix}
= aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh
$$
これについてはサラスの公式という覚え方が存在する.
そして4次以上で有効な手立てとして
$$
det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \det(A_{ij})
$$
がある.いわゆるの余因子展開である.

## 行列値関数

## 線形空間（ベクトル空間）
$V$を内積空間として$a,b\in \mathbb{V}$を考えると

$$
(a,b) \leq |a||b|
$$

が成り立つ.これはシュワルツの不等式という.
例えば2,3次元の数ベクトルについてのシュワルツの不等式については

$$
(a,b)=|a||b|\cos{\theta}\leq |a||b|
$$

という素朴な理解で事足りる.

有限次元の同型な線形空間は次元が等しい

連続関数全体の線形空間における零元は$\forall x\in V, f(x)=0$ を満たす関数とする.

## 行列の種類

### 三角行列

### エルミート行列

定義：共役転置(エルミート転置)した行列と元の行列が等しい

$$
A=A^{\dagger}
$$

面白い性質

【主張】

任意の正方行列はエルミート行列と歪エルミート行列の和によって一意に表される

【証明】

$$
A = \frac{A + A^{\dagger}}{2} + \frac{A - A^{\dagger}}{2}
$$

と書けばよい

### ユニタリ行列

定義：エルミート転置した行列と元の行列の積が単位行列になる

$$
AA^{\dagger}=E
$$

実ユニタリ行列を**直交行列**という

### ヘッセ行列

$$
H = \begin{bmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}
\end{bmatrix}
$$

### ヤコビ行列
$$
J = \begin{bmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\
\frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \frac{\partial f_m}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \\
\end{bmatrix}
$$

### ファンデルモンド行列

ラグランジュ補間は、与えられたデータ点を全て通る多項式を見つける手法です。具体的には、n+1個のデータ点 $(x_0, y_0), (x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)$ が与えられたとき、これらの点を全て通る唯一のn次多項式 $P(x)$ を次のように構築します：

$$
P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x)
$$

ここで、$L_i(x)$ はラグランジュ基底多項式で、次のように定義されます：

$$
L_i(x) = \prod_{\substack{0 \leq j \leq n \\ j \neq i}} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}
$$

したがって、各$L_i(x)$ は、$x = x_i$ において1となり、$x = x_j$ (ただし、$j \neq i$)において0となります。これにより、$P(x_i) = y_i$ を満たすことが保証され、$P(x)$ は与えられたすべてのデータ点を通過します。

## テンソル

## 数の作り方

### 複素数
一般に複素数と行列の四則演算について
$$
a+bi \longleftrightarrow
\begin{pmatrix}
a & -b \\
b & a \\
\end{pmatrix}
$$
が成り立つ.
四則演算については各自で計算せよ.
考え方としては
$$
\begin{pmatrix}
a & -b \\
b & a \\
\end{pmatrix}=
a\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}
+
b\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}
$$
であるからこの二つの行列を$E$と$J$として(当然$E$は単位行列)
$$
J^2=
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}^2=
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{pmatrix}=-E
$$
である.この行列全体の集合に関して加法および乗法に関して閉じている.
$$
A^t\!A=(aE+bJ)(aE-bJ)=(a^2+b^2)E
$$
であるから
$$
A^{-1}=\dfrac{1}{a^2+b^2}\ ^t\!A
$$
とすれば逆行列が定義される.

### 四元数
一般に四元数と行列の四則演算について
$$
a+bi+cj+dk \longleftrightarrow
\begin{pmatrix}
a & -b & -c & -d \\
b & a & -d & c \\
c & d & a & -b \\
d & -c & b & a
\end{pmatrix}
$$
とできる.これは複素数と同じ考え方とすれば
$$
i = \begin{pmatrix}
0 & -1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix},\
j = \begin{pmatrix}
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0
\end{pmatrix},\
k = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
である.

# 線形写像
**同型写像**
$V,W$を$K$上の線形空間とし,\ $f:V \longmapsto W$

# ケーリーハミルトン

固有多項式は最小多項式を割り切る.