# 複變函數公式全集
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### 【定義】
1. 若函數 $x=x(t),\ y=y(t)\ (a\leq t\leq b)$ 為實參數 $t$ 的連續函數，則在複數平面上的點集 $C=\{z=(x,y)\}$ 稱為**弧**（arc）。
- 也可依上述定義建立一映射 $z:[a,b]\to\mathbb{C}$，用方程式表式成 $$z(t)=x(t)+iy(t)，$$它是從實閉區間 $a\leq t\leq b$ 映射至複數平面，且它的像點依據 $t$ 值的增加而排列。
- 弧是一種在「映射」的意義下講的點集。
- 相異的弧可能「映射」出相同點集。
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以下三者都映射出以原點為圓心的單位圓：$z=e^{i\theta}\ (0\leq \theta\leq 2\pi)$、$=e^{-i\theta}\ (0\leq \theta\leq 2\pi$、$z=e^{2i\theta}\ (0\leq \theta\leq 2\pi)$
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2. 若弧 $C$ 本身沒有交叉點，則稱為**單弧**（simple arc），或若爾當弧（Jordan arc）。亦即，當 $t_1\neq t_2$ 有 $z(t_1)\neq z(t_2)$，則 $C$ 是單弧。
4. 若除了 z(b)=z(a) 外，$C$ 是單弧，則稱 $C$ 是**單閉曲線**（simple closed curve），或若爾當曲線（Jordan curve）。
- 若有一單閉曲線 $C$，隨著 $t$ 值的增加，它的映射 $z$ 的像點是關於原點繞逆時針方向旋轉，則稱為**正向**（positively oriented）的；
- 若是繞順時針旋轉，則稱為**負向**（negatively oriented）的。
5. 若函數 $x=x(t),\ y=y(t)\ (a\leq t\leq b)$ 是連續可微，
6. 圍線（contour）

### 【定理】柯西積分公式（Cauchy Integral Formula）
$f$ 是 $C$ 內部簡單正向封閉圍線的任一點，則令 $z_0$ 是 $C$ 內部的任一點，則 $$f(z_0)=\dfrac{1}{2\pi i}\int_C\dfrac{f(z)dz}{z-z_0}\tag{1}$$
#### 證明
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1. 令 $C_\rho$ 表示正向圓 $|z-z_0|=\rho$，其中 $\rho$ 小到足以使 $C_\rho$ 位於 $C$ 的內部。因為商 $f(z)/(z-z_0)$ 在圍線 $C_\rho$ 和 $C$ 以及它們之間的點可解析，因此由路徑變形原理可知 $$\int_C\dfrac{f(z)dz}{z-z_0}=\int_{C_\rho}\dfrac{f(z)dz}{z-z_0}，$$此式使我們可寫出 $$\int_C\dfrac{f(z)dz}{z-z_0}-f(z_0)\int_{C_\rho}\dfrac{dz}{z-z_0}=\int_{C_\rho}\dfrac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz，\tag{2}$$但是（參閱第46節習題13）$$\int_{C_\rho}\dfrac{dz}{z-z_0}=2\pi i，$$ 所以(2)式變成 $$\int_C\dfrac{f(z)dz}{z-z_0}-2\pi if(z_0)=\int_{C_\rho}\dfrac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz。\tag{3}$$

2. 由於 $f$ 在 $z_0$ 可解析，因此連續，而這保證對於不論多麼小的正數 $\varepsilon$ 而言，必存在一正數 $\delta$，<center>使得當$|z-z_0|<\delta$ 時，$|f(z)-f(z_0)|<\epsilon$ 恆成立。</center>
3. 令 $C_\rho$ 的半徑 $\rho<\delta$，第47節的定理提供圍線積分的模數的上界，這告訴我們 $$\left|\int_C\dfrac{f(z)dz}{z-z_0}-2\pi if(z_0)\right|=\left|\int_{C_\rho}\dfrac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}dz\right|<\dfrac{\varepsilon}{\rho}2\pi\rho=2\pi\varepsilon，$$ 不等式左邊是非負常數，其值小於任意小的正數，由此可得 $$\displaystyle\int_C\dfrac{f(z)dz}{z-z_0}-2\pi if(z_0)=0。$$證畢。
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- 另一種形式：$$\int_C\dfrac{f(z)dz}{z-z_0}=2\pi if(z_0)$$ 可用來求某些沿著封閉曲線的積分。
### 【定理】柯西積分公式的推廣（An extension of Cauchy Integral Formula）
$f$ 是 $C$ 內部簡單正向封閉圍線的任一點，則令 $z_0$ 為內部的任一點，則 $$f^{(n)}(z_0)=\dfrac{n!}{2\pi i}\int_C\dfrac{f(z)dz}{(z-z_0)^{n+1}}\quad(n=0,1,,2\dots)\tag{1}$$
#### 證明

$\mathsf{\Phi}$