# Hausaufgaben zur 12. Vorlesung

## Aufgabe 1: Power-Analyse

Sie möchten einen Tierversuch planen: Sie möchten ermitteln, ob eine gewisse Substanz leberschädigend. Die Vermutung ist, dass die Leber bei oraler Aufnahme der Substanz schrumpft.

Der Versuchsplan ist wie folgt. EIne Gruppe von $n$ Mäusen wird in zwei Gruppen aufgeteilt: die eine Gruppe erhält die Substanz in ihr Futter gemischt, die andere nicht. Nach zwei Monaten werden die Mäuse getötet, die Leber heraus seziert und gewogen. Dann werden die Massen der Lebern per t-Test zwischen behandeter Gruppe ("treated group") und Vergleichsgruppe ("control group") verglichen.

Aus der Literatur wissen Sie, dass die Masse der Leber beim verwendeten Labormaus-Stamm im Mittel ungefähr 2.3 g beträgt und in etwa normalverteilt ist mit Standardabweichung 0.3 g.

### Aufgabe 1a

Sie erwarten, dass die Substanz eine Reduktion der Lebermasse um 15% bewirkt, also um Mittel um 0.35 g.

Sie beabsichtigen, $n=20$ Mäuse zu verwenden und in zwei Gruppen zu 10 Mäusen aufzuteilen. Sie haben desweiteren beschlossen, ein Ergebnis als statistisch signifikant zu erachten, falls der p-Wert und 0.01 liegt.

Erstellen Sie mit `rnorm` zwei Vektoren mit je 10 normalverteilten Zufallswerten mit Standardabweichung 0.3 g, und Mittelwerten 2.3 g (control) und 1.95 g (treated). Vergleichen Sie die beiden Vektoren mit der Funktion `t.test`. Ist der Unterschied statistisch signifikant?

Führen Sie diese Simulation 1000 mal durch, jeweils mit neuen Zufallswerten. Wie oft erhalten Sie einen p-Wert unter 0.01? Wie oft unter 0.05?

Hinweis: Hier benötigen wir zwei R-Techniken, die wir so nicht besprochen haben: Wie bekommen wir die Ausgabe von `rnorm` in `t.test`. Und wie können wir den p-Wert aus der Ausgabe von `t.test` isolieren, um zu zählen, wie oft der Wert klein ist? Fragen Sie dazu ggf. auf Slack.

### Aufgabe 1b

Unter der Annahme, dass die Substanz die Lebermasse um mindestens 15% reduziert: Denken Sie, dass Ihnen 20 Mäuse ausreichend statistische Power bieten, um den Effekt der Substanz auf die Lebermasse nachzuweisen?

Ermitteln Sie durch Trial-and-Error eine Anzahl $n$ von Mäusen, so dass die Wahrscheinlichkeit, einen p-Wert unter 5% zu erhalten (die sog. "Power auf 95%-Niveau") mindestens 90% beträgt.

### Aufgabe 1c

In kommen Zweifel, ob die Erwartung einer Reduktion um 0.35 g nicht zu optimistisch ist. Wie wäre die Antwort zu Aufgabe 1b, wenn Sie nur 0.1 g Reduktion erwarteten?

## Aufgabe 2

[ergänze ich in den nächsten Tagen]