# 李宏毅_Linear Algebra Lecture 11: What can we know from RREF? (part 2)
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## Linear Algebra Lecture 11: What can we know from RREF? (part 2)
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課程主要說明RREF與Independent之間的關係

### Column Correspondence Theorem

上一節課程已經說明Column Correspondence Theorem，也瞭解$A$與$R$的column之間的關係是一樣的。

而$R$的column中，含有Leading entries的column(pivot column)一定是independent，相對的，在$A$內的相對應column中也一定是independent。

### Column Correspondence Theorem

其餘不是pivot column的部份(non-pivot column)，就會是其左側pivot column的linear combination。

上面範例可以看到，第2個column是第一個column的2倍，第5個column則是第1、第4個column的linear combination，第6個column則是第1、3、4的linear combination。根據Column Correspondence Theorem，相同的關聯也可以由$R$回推回去$A$。

但要注意的是，pivot columns一定是independent，但independent vector set不一定是pivot column，上面螢光筆所劃的最右兩個column，雖然是independent，但並非pivot column。

### Independent

這邊說明，當一個matrix的所有column皆為linear independent，這意味著在執行RREF之後，其所有column皆為pivot column，換句話說，RREF的所有column皆為standard vector。再換句話說，只要這個matrix是正方形的，那做完RREF之後如果所有的column皆為standard vector，這意味著這個$R$是一個identity matrix。

### Independent

在一個nxm，而n>m的matrix中，如果所有的column皆為linear independent，那得到的RREF會是一個上半部為identity matrix，下半部為zero matrix的matrix。

### Independent

在一個nxm，而n<m的matrix中，它是不可能為linear independent。

### Independent

因此上面的幾個範例得到一個結論，矮胖型的matrix(n<m)它一定是dependent。但反過來，dependent並不一定會是矮胖型的matrix。

結論就是，在m維空間中有超過m個vector，那它就一定是dependent。
### Independent - Intuition

直觀來看，如果你有一個2x3的matrix，當你的3維輸入經過system(2x3 matrix)之後得到2維的輸出，這時候你的結果是壓縮，反過來當你從2維的輸入經過system之後得到3維的輸出，得到的解並不會只有一個解，它可能有無窮多解，而無窮多解代表著它是dependent。

當然也存在著無解，因為3維空間壓縮到2維空間可能剛好變成一個解，因此2維空間上對應回3維空間不見得有解但它依然是dependent。