# 李宏毅_Linear Algebra Lecture 12: What can we know from RREF? (part 3)
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## Linear Algebra Lecture 12: What can we know from RREF? (part 3)
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課程說明RREF與Rank之間的關係

### Rank

Rank指可以在Matrix內找出多少independent的columns。而上一堂課已說過，執行RREF的column之間的關係並不會改變。而在RREF內更為直觀的可以瞭解它的Rank。

上圖為例，很清楚的看的出來，Rank為3。因為你只要確認pivot column的數量，就可以知道independent column的數量。所以我們知道一件事，pivot column的數量會等於Rank，也代表non-zero的row數量。
### Properties of Rank from RREF

1. Rank一定小於等於column的數目
2. Rank一定小於等於row的數目

依上面定義可以確定，Rank一定是小於等於上面兩個字義較小的那一個(即row或column較少的數目)

### Properties of Rank from RREF

1. 如果你的matrix維度為mxn，那Rank一定是min(m, n)。
2. 當Rank正巧等於min(m, n)，那就稱為full rank。
3. 當$A$的column為independent，那代表rank A=n
* 當m < n，這意味著這個matrix一定是dependent
* full rank，那代表它應該是4，但full rank應該是取min(3, 4)，而3不等於4，因此為dependent
* 這結論與上一堂課的矮胖型的matrix為dependent一樣，只是換句話說

在m維空間中，你不可能找到超過m個vector它們是independent。
### Basic, Free Variables v.s. Rank

前幾堂課提過，Augmented Matrix做完RREF之後，拿掉$b$的部份，原部份還是原始matrix的RREF，再還原為system of linear equation求解，沒有對應到的就是free variable。

上面按例來看，有3個equation，這意味著有3個basic variable，2個free variable，而non-zero row的數目就是rank。換話句說，你有幾個useful equation，就有多少rank。而有多少free variable的數目就代表有多少nullity。
### Rank

Rank代表：
1. independent column的數目
2. pivot column的數目
3. RREF內non-zero的column數目
4. basic variable的數目

Nullity代表：
1. Column的數目 - Rank
2. free variable

要特別注意的是，nullity並不代表RREF內zero的column數目，nullity的定義是column no - rank，與row毫無關係。