# 李宏毅_Linear Algebra Lecture 22: Linear Function in Coordinate System
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## Linear Algebra Lecture 22: Linear Function in Coordinate System
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### Basic Idea

在不同的Coordinate system去描述一個function的好處在於，如果一個function在直角座標系上看待過於複雜，那就轉到另外的座標系上簡化。

### Sometimes a function can be complex ......

假設有一個linear transform-$T$，並且二維空間中有一條直線$L$通過原點，$T$的工作就是對這條直線$L$做reflection，也就是如果空間中有一個向量$x_1, x_2$，在以$L$為軸通過$T$之後就會變為$T(x_1, x_2)$，我們想知道$T$長什麼樣子。依之前課程所教過的，我們可以以standard vector做為function的輸入，就可以知道matrix背後的每一個column長什麼樣子。

符號約定：
* $\left[T\right]$：linear transform背後的matrix

我們想知道這個matrix的第一個column長什麼樣子，那就只需要將$e_1$帶入$T$，也就是$T(e_1)$，第二個column則是$T(e_2)$。但對於$(e_1)$、$(e_2)$轉換後的座標是什麼，其實並沒有那麼好計算。

### Sometimes a function can be complex ......

考慮一個特殊的情況，假設$L$是一條水平線，那整個問題突然就變簡單的，以$T'$來表示linear transform，那$x_1, x_2$的reflection就是$x_1, -x_2$。這時候你用$e_1, e_2$帶入確認$T'$的column長什麼樣子就變的很簡單。因為$T'(e_1)=e_1$，而$T'(e_2)=-e_2$，因此$e_1$為第一個column，$-e_2$做為第二個column，就可以得到整個$T'$。

我們現在知道，如果$L$是一條水平線，那你要找出它的linear transform是非常容易的。
### Describing the function in another coordinate system

那假設$L$是任意一條直線，那我們可藉由座標轉換的方式從一個新的coordinate system來看待這件事，讓$L$在這個新的coordinate system上是一條水平線。

很簡單，只要把$b_1$視為與$L$平行的軸，將$b_2$視為與$L$垂直的軸，那對$L$做reflection這件事就變成對水平線做reflection了：
* $T(b_1)= b_1$
* $T(b_2)= -b_2$

### Describing the function in another coordinate system

符號說明：
* $\left[T \right]_B$，上一堂課有提到$\left[v \right]_B$，是在$B$這個coordinate system下看$v$長什麼樣子，而$\left[T \right]_B$就是從$B$這個coordinate system下看$T$長什麼樣子。也就是這個linear transform的input、output都是以$B$這個coordinate system來表示

直觀來看，在$B$這個coordinate system下，$T$做的事情就是對水平線做reflection，所以我們很明白$T$這個matrix長什麼樣子：

$$
\left[
\begin{array}{cc|c}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}
\right]
$$

另一個角度來看，$\left[ b_1 \right]_\mathscr{B}=e_1$而$\left[ b_2 \right]_\mathscr{B}=e_2$，這在上一堂課有提到過，每一個構成這個coordinate system的basis的vector，在新的coordinate system下看起來都是standard vector。因此，如果我們想知道這個matrix長什麼樣子，只要將standard vector帶到這個function，其output就是這個function的column。

現在我們想知道$\left[T \right]_\mathscr{B}$長什麼樣子，只要將$B$這個coordinate system下的standard vector帶到function，就可以知道這個function的每一個column長什麼樣子。

然後，我們現在知道，$B$的兩個standard vector就是$b_1, b_2$：
* $\left[ T \right]b_1=b_1$
* 首先將$b_1$轉至$\mathscr{B}$這個coordinate system下，即$\left[b_1 \right]_\mathscr{B}$
* 轉至這個coordinate system的$b_1$就是$e_1$，即$\left[b_1 \right]_\mathscr{B}=e_1$
* 轉換之後再乘上$T$在$\mathscr{B}$看起來的樣子，即$\left[T \right]_\mathscr{B}$
* 兩者相乘就會得到原來的$b_1$在$\mathscr{B}$看起來的樣子，即$\left[b_1 \right]_\mathscr{B}$，而它就是$e_1$，即$\left[T \right]_\mathscr{B}(\left[b_1 \right]_\mathscr{B})=\left[b_1 \right]_\mathscr{B}=e_1$
* $\left[T \right]_\mathscr{B}(e_1)=e_1$，因此第一個column就是$e_1$

以相同的作法就可以推論出$\left[T \right]_\mathscr{B}$的第二個column就是$-e_2$
### Flowchart

總結來說，假設我們有一個直角座標系(綠色)，有一個function-$T$，它做的是就是將直線$L$做 reflectiono，即input-$v$、output-$T(v)$。

現在我們可以將$v, T(v)$都放到新的coordinate system(紅色)下來看，將input、output都以新的coordinate來看，即$\left[v\right]_\mathscr{B}, \left[T(v)\right]_\mathscr{B}$。這個coordinate system是我們特別選過的，它做的事就是對水平線做reflection，因此我們知道它的linear transform是長什麼樣子，也就是$\left[T \right]_\mathscr{B}$：

$$
\left[
\begin{array}{cc|c}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}
\right]
$$

這個matrix稱為$\mathscr{B}$ matrix of $T$，也就是將$T$放到這個coordinate system下的樣子。

現在我們知道$\left[T \right]_\mathscr{B}$，就可以很輕易的反推出$\left[T \right]$
### Flowchart

現在我們知道，我們可以將$v, T(v)$轉至新的coordinate system上，變為$\left[v\right]_\mathscr{B}, \left[T(v)\right]_\mathscr{B}$，這麼做之後它們之間的關係就變成$\left[T \right]_\mathscr{B}$，然後我們就可以利用這個$\left[T \right]_\mathscr{B}$來反推$\left[T \right]$：
* $v \rightarrow \left[v\right]_\mathscr{B}$就是乘上$B^{-1}$
* 要從正常世界走進魔法世界是需要走過9又3/4月台
* $\left[T(v)\right]_\mathscr{B} \rightarrow T(v)$就是乘上$B$

原本我們要從$v \rightarrow T(v)$要經過$\left[T \right]$，但這條路不好走，因此我們利用一個設計過的新的coordinate system來處理：
* 從$v$變成$\left[v\right]_\mathscr{B}$經過$\left[T\right]_\mathscr{B}$變為$\left[T(v)\right]_\mathscr{B}$再變回$T(v)$
* $\left[T\right]=B\left[T\right]_\mathscr{B}B^{-1}$
* 特別注意到，matrix相乘的時候是由右邊乘至左邊

反過來說，$\left[T\right]_\mathscr{B}=B^{-1}\left[T\right]B$。這種情況下，這兩個matrix是similar的。也就是某一個matrix-A在左邊乘上一個matrix-P，右邊乘上matrix-P'可以得到A'，那A與A'之間的關係就稱為similar。

可以將A視為一個transform，而A'則是另一個coordinate system下的transform。
### Example: reflection operator T about the line y=(1/2)x

假設有一條斜線，其方程式為y=(1/2)x，我們要找出這個對斜直線做reflection的transform-$T$：
* 首先，定義一個新的coordinate system、$b_1=2, 1$，$b_2=-1, 2$
* 這是我們設計過的特殊的coordinate system，因此我們知道$\left[T\right]_\mathscr{B}$，這是對水平線做reflection的matrix
* 找出$B, B^{-1}$，$B$就是把$b_1, b_2$做為column的matrix

### Example: reflection operator T about the line y=(1/2)x

* 計算$\left[T\right]=B\left[T\right]_\mathscr{B}B^{-1}$

不會只有一組coordinate system可以求出$\left[T\right]$，你可以有另一組$C$，最終計算所得的$\left[T\right]$還會是一樣的。

值得注意的是，coordinate system內的兩個vector並不一定要垂直的，只要是independent就可以，只是當你沒有採用垂直的時候就要注意，這時候的$\left[T\right]_\mathscr{B}$就不再是這個$\left[T\right]_\mathscr{B}$。
### Example

這個範例是已知$\left[T\right]$，希望可以知道另一個coordinate system下，$\left[T\right]_\mathscr{B}$長什麼樣子：
* 首先，整理出$\left[T\right]$
* 已知$B$
* 帶入公式$\left[T\right]_\mathscr{B}=B^{-1}\left[T\right]B$

### Example

這個範例是已知input、output，希望可以知道$\left[T\right]$：
* 直觀來看，這三個操作各別視為$Ab_1=c_1$、$Ab_2=c_2$、$Ab_3=c_3$，把它們結合起來，就變成是$AB=C$，只需要兩邊同乘$B^{-1}$就可以知道$A=CB^{-1}$

另一種利用coordinate system的作法：
* 利用$b_1, b_2, b_3$來構成coordinate system，因為basis就可以構成coordinate system
* 在這個新的coordinate system下，$b_1, b_2, b_3$就是$e_1, e_2, e_3$，我們知道，coordinate system下的basis的vector在新的coordinate system下看起來都是standard vector
* 將$c_1, c_2, c_3$轉到新的coordinate system，因此input $e_1, e_2, e_3$會得到$B^{-1}c_1, B^{-1}c_2, B^{-1}c_3$

### Example

* 我們現在得到$\left[T\right]_\mathscr{B}$的三個column，即$\left[T\right]_\mathscr{B}=B^{-1}C$
* $\left[T\right]=B\left[T\right]_\mathscr{B}B^{-1}=BB^{-1}CB^{-1}=CB^{-1}$

### Conclusion

這張圖就是整堂課的精華，如何從原本的直角座標系轉換至新的coordinate system。