# 李宏毅_Linear Algebra Lecture 10: What can we know from RREF? (part 1)
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## Linear Algebra Lecture 10: What can we know from RREF? (part 1)
[課程連結](https://www.youtube.com/watch?v=ObibwhRY8xc&list=PLJV_el3uVTsNmr39gwbyV-0KjULUsN7fW&index=10)
### Outline

課程預計說明四種情況與RREF的相關性

### Column Correspondence Theorem

首先說明的是RREF與linear combination的關係，說明之前先說明Column Correspondence Theorem。

有一個Matrix-$A$執行RREF之後得到$R$，這之間會有一個相關性，就是如果$A$內的某一個column是其它column的linear combination，那相同的關聯會出現在$R$的該column。反之亦然。

### Column Correspondence Theorem - Example

上面簡報是一個範例。從$R$來看是否有linear combination關係的好處在於數值比較單純。
### Column Correspondence Theorem - Intuitive Idea

會有這種情況的主要原因在於，elementary row operations並不會改變column之間的關係。

如上面範例所示，調整row的順序(B)，某一個row乘上一個值(C)以及某一個row乘上一個值之後加到另一個row(D)，都不會影響column之間的關係。

Column Correspondence Theorem是column之間的承諾，即使elementary row operations也沒有辦法改變它們之間的關係。
### Column Correspondence Theorem - Reason

證明之前先說另一件事。

一個Coefficient Matrix-$A$執行RREF之後得到$R$，一個Augmented Matrix$A'$執行RREF之後得到$R'$，這個$R'$在拿掉$b$之後，它依然是$A$的Reduced Row Echelon Form。

### Column Correspondence Theorem - Reason

要特別注意到的是，我們說當$A$經過RREF變為$R$不會影響它的solution set是指augmented matrix，而不是coefficient matrix。

### Column Correspondence Theorem - Reason

上面單純給出一個範例說明。

### How about Rows?

Column有Column Correspondence Theorem，但Row是沒有的。

但是能發現到，$A$與$R$的Span是一樣的。

### Span of Columns

但在Row上面有的特性，在Column上是沒有的(指Span一致的特性)

### Note

本課程結論：
* Matrix執行RREF之後
* Columns
* columns之間的關係不會改變
* columns的span會改變
* Rows
* rows之間的關係會改變
* rows的span不會改變