# 李宏毅_Linear Algebra Lecture 17: How to find the Inverse of a Matrix
###### tags: `Hung-yi Lee` `NTU` `Linear Algebra Lecture`
[課程撥放清單](https://www.youtube.com/playlist?list=PLJV_el3uVTsNmr39gwbyV-0KjULUsN7fW)
## Linear Algebra Lecture 17: How to find the Inverse of a Matrix
[課程連結](https://www.youtube.com/watch?v=vV2ff0xFPbw&list=PLJV_el3uVTsNmr39gwbyV-0KjULUsN7fW&index=18&t=0s)

如何算出Matrix的Inverse
### Elementary Row Operation

在說明計算Inverse之前，先談Elementary Matrix。

先前在說明RREF的時候有提到Elementary Row Operation：
1. row交換
2. row乘上scalar
3. 把第i個row乘上k倍加到第j個row

而上面三個操作都可以想像成是乘上一個特殊的矩陣，而這個特殊矩陣就稱為elementary matrix。

### Elementary Matrix

給定一個指定的row operation情況下，能否寫下它的elementary matrix-$E$。假設我們現在希望做的是交換第1、2個row：
* 首先，用$E$與identity matrix做相乘。因為相同的elementray matrix對任何一個matrix都有一樣的效果。
* identity matrix的特性就是乘上任何matrix都不會改變結果。因此你只需要調整identity matrix，就可以得到elementary matrix。
### Elementary Matrix

舉其它例子，假設現在要交換的是第2、3個row。只需要拿出identity matrix做相同的操作，就可以得到需求的elementary matrix(上)。

即使是做縮放也是可以採相同的邏輯來處理，舉例來說要對第2個row乘上-4，你只需要把identity matrix的第2個row乘上-4，就是你要的elementary matrix(中)。

如果要將第1個row乘上兩倍加到第3個row，只要一樣的identity matrix操作完直接加到第三個row就可以(下)。
### Elementary Matrix

舉更多例子說明。

### Inverse of Elementary Matrix

現在，我們可以很快找出elementary matrix的inverse，只需要找出elementary row operation的逆向操作就可以。

如果elementary matrix是交換第2、3個row，只需要再做一次交換，就可以得到原來的matrix(上)，或者$E_1$乘上$E_1^{-1}$會得到identity matrix。

如果elementary matrix是將第2個row乘上-4倍，那它的逆就是還原這-4倍，也就是乘上-1/4倍(中)。

如果elementary matrix是將第1個row乘上2倍加到第3個row，那它的逆就是將第1個row乘上-2倍再加到第3個row(下)。

上面的案例可以看的出來，每一個elementary matrix都可以很簡單又快速的找出它的inverse。
### RREF v.s. Elementary Matrix

先前說明RREF的時候有提過elementary row operation，把一個matrix-$A$做一連串的elementary row operation就可以得到其RREF-$R$。

現在我們把做一連串elementary row operation的陳述拿來換句話說用於matrix-$A$乘上一連串的elementary matrix，每一個elementary matrix就代表做一次elementary row operation，最後會得到matrix-$A$的RREF-$R$。

也因此，matrix-$A$與RREF-$R$之間有一個關係，matrix-$A$在乘上某一個matrix-$P$可以得到其RREF-$R$，而這個$P$是invertible且為m x m。因為我們已經知道，$A$乘上一連串的elementary matrix可以得到其RREF-$R$，因此我們將這一連串的elementary matrix乘起來就可以得到$P$，即$P = E_k \cdots E_2 E_1$。

$P$是invertible，這不需要證明，因為我們已經知道，所有的elementary matrix都是invertible，而先前課程已經提過，把一堆invertible相乘，它仍然是invertible。而$P$的inverse即為$p^{-1}=E_1^{-1} E_2^{-1} \cdots E_k^{-1}$。
### Invertible

如果一個matrix是invertible，那這個matrix會是一堆elementary matrix的相乘：
* 已知matrix-$A$與其RREF-$R$之間的關係就是乘上一個invertible matrix-$P$
* 如果matrix是invertible，那它的RREF一定是identity matrix，即$R$=RREF($A$)=$I_n$
* 也就是$PA=I_n$，即$E_k \cdots E_2 E_1 A = I_n$
* $A = E_1^{-1} E_2^{-1} \cdots E_k^{-1} I_n = E_1^{-1} E_2^{-1} \cdots E_k^{-1}$
### 2 X 2 Matrix

現在我們就用上面推論出來的述敘來找出matrix的inverse。

假設有一個2x2的matrix，其中a、b、c、d是已知，現在要找出e、f、g、h：
* 已知$A \cdot A^{-1} = I_n$
* 這可以套公式硬解一發，但是更高維度的話就難以處理
### Algorithm for Matrix Inversion

通常對於高維度的處理我們並不會去硬記公式，因為你也記不住，因此會這麼做：
* 假設A是一個nxn的 matrix，並且A是invertible
* 這時候A的RREF會是I~n~
* 也就是經過一連串的elementary matrix計算之後會是identity matrix

這意味著$E_k \cdots E_2 E_1 A = R = I_n$，也就是$A^{-1}A=R=I_n$，只要將RREF過程的row operation記錄下來，就可以得到A的inverse。
### Algorithm for Matrix Inversion

對於上面的說明可以有另一種作法：
* 假設A是一個nxn的matrix，結合I~n~變為一個augmented matrix，其維度為nx2n，執行RREF所得的matrix依然為nx2n
* 執行RREF之後的矩陣會有兩個部份，一個是R，一個是B，這個R就是A的RREF，它會是indentity matrix，而B，事實上它就是A的inverse，但這個前提是A是invertible
* 也因此這個操作過程可以藉由R是否為indentity matrix來確定A是否為invertible，如果是，那B就是A的inverse

### Algorithm for Matrix Inversion

上面是一個範例，非常直觀。

### Algorithm for Matrix Inversion

假設要求的是A的inverse再乘上C，那道理一樣，只要將A、C結合為augmented matrix，一樣利用row operation計算其RREF，找出來的右半部就是要的解了。

結果也是非常的直觀。