# 李宏毅_Linear Algebra Lecture 27: Diagonalization for Linear Transformation
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## Linear Algebra Lecture 27: Diagonalization for Linear Transformation
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### Test for a Diagonalizable Matrix

要知道一個矩陣是否可以被對角化，這需要滿足幾個條件：
1. 首先是這個矩陣的characteristic polynomial，也就是$det(A-tI_n)$一定要可以被因式分解，也就是它必需有實根
2. 每一個eigenvalue的dimension都要等於其multiplicity(指數)

### Independent Eigenvectors

3. 這個矩陣的eigenvectors可以形成一個$R^n$的basis。
* 也就是你可以找出$n$個eigenvectors，而這幾個eigenvectors彼此之間是independent
* 也就是這個矩陣的characteristic polynomial全部都是實根，全都可以被拆解
* 也就是每一個eigenvalue對應的eigenspace的dimension都會等於其相對應的multiplicity(指數)

### Diagonalization of Linear Operator

先前的範例說明都是對某一個矩陣做對角化，但我們還可以對Linear Operator做對角化，其意義就是對這個Linear Operator背後的矩陣做對角化：
1. 寫下該矩陣的standard matrix
2. 寫下該standard matrix的characteristic polynomial
3. 得到eigenvalues，-1是重根，因此要注意
4. 驗證matrix的trace，即對角線值相加，會等於所有eigenvalues的和，-1 + -1 + 2 =0，確實等於對角線和
5. 驗證所有matrix的eigenvalues相乘會得到這個matrix的determinant
6. 找出兩個eigenvalues的eigenspace
7. 找出n個independent vector，確定可以被對角化

### Diagonalization of Linear Operator

這是一個不能被對角化的範例：
1. 寫下該矩陣的standard matrix
2. 寫下該standard matrix的characteristic polynomial
3. 得到eigenvalues，0、-2
4. 找出matrix-$A$的null space，利用RREF來找即可
5. 發現Rull=2，代表其Null=1，就代表其Dimension=1，1 < 2(multiplicity)
6. 確認eigenvalue=0其條件不符，此矩陣無法被對角化

### Diagonalization of Linear Operator

先前的課程提過，可以在不同的coordinate system上來看同一個linear operator，可對角化讓我們可以用更系統化的方法，來找出那一個coordinate system，讓linear operator看起來更加簡單。我們可以將可對角化的公式帶入coordinate system，這時候在另一個coordinate system上$A$就是$D$，而這個$D$就只有對角線有值而以。

### Diagonalization of Linear Operator

假設有一個Linear Operator-$T$，它是可對角化，並且有eigenvalue與相對應的eigenvector：
* 將三個eigenvectors合起來可以視為一個coordinate system，那就可以很輕易的寫出在這個coordinate system上$T$是長什麼樣子