# 李宏毅_Linear Algebra Lecture 2: System of Linear Equations
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## Lecture 2: System of Linear Equations
[課程連結](https://www.youtube.com/watch?v=ZexDYHpmID8&list=PLJV_el3uVTsNmr39gwbyV-0KjULUsN7fW&index=2)
### Review

什麼是system of linear equations?就是多元一次聯立方程式：
* $2x_1+3x_2+5x_3=5$
* $x_1,x_2,x_3$為variables
* 2,3,5為coefficients(係數)
* 結果5為constant term

### Review

用比較不同的方式來表式這個多元一次聯立方程式：
* $a_{11}$，代表第一個variable，第一個equation(方程式)
* $b_1$，代表第一個equation的constant term
* $x_1$，代表第一個variable

因此可得下面表達式：
$a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m$

課程中會討論到，在$m, n$很大的情況下該如何處理。
### Review - Terminology

術語約定：
* 給定一個function-f，其定義域稱為Domain，代表所有可以做為function-f的輸入的集合
* function-f的輸出會落在對應域裡面，稱為Co-domain，代表function-f所有可能出現的輸出集合
* 值域，Range，代表function-f真正可以輸出的集合
* 值域一定比對應域還要小，包含在對應域裡面。

舉例來說，$y=x^2$，其定義域Domain可以由我們自行定義，定義這個function的輸入為何，假設定義為所有的實數-$R$。而對應域Co-domain就是我們不假思索能想到的答案，因為輸入是實數，輸出也一定是一個實數-$R$。而$y=x^2$代表所有的輸出都一定$\geq 0$，因此值域的部份為$R^+,0$
### Review - Terminology

術語約定：
* one-to-one(一對一)
* 意指所有在domain內經過function所得的Co-domain都是不一樣的，也就是沒有任一輸入有相同的輸出。
* Onto(映成)
* 當Range=Co-domain的時候即為Onto

不管是one-to-one還是Onto，其range都是Co-domain的subset，但domain與range都會是一樣大的(這部份後續會詳細說明)，假設domain有無窮多的可能，那在one-to-one的情況下其range也會有無窮多可能。
### Review - Linear System

這邊快速複習Linear System的兩個特性：
* 輸入乘上k倍，其輸出也會乘上k倍
* 當x~1~的輸出為y~1~，x~2~的輸出為y~2~，當x~1~+x~2~=y~1~+y~2~
### Question

這邊利用兩個案例來說明Linear System：
1. Derivative
* 輸入為function-f，經過derivative之後得到其微分-f'
* 雖然是微分，但這function為線性系統
2. Integral from a to b
* function-Integral的功能是積分，輸入為function-f，輸出為將a積分到b的數值
* 積分也是線性系統
### Linear System v.s. System of Linear Equations

假設Linear System的輸入Domain是n維向量-$R^n$，輸出為m維向量-$R^m$，這個Linear System就可以寫成System of Linear Equations。

System of Linear Equations一定是Linear System，那反過來呢?Linear System一定會有一個對應的System of Linear Equations嗎?

### Linear System v.s. System of Linear Equations

假設有一個Linear System，目前為止我們不知道它長什麼樣子。假設輸入為標準向量_{(Stand Vector，意指僅第一維為1，其餘為0)}，接下有另一個第二維為1其餘為0的向量輸入，第三維為1其餘為0的向量輸入....總共有n個輸入、n個輸出，由這n個輸出就可以判斷Equation是什麼樣子的。

1. 首先我們將輸入乘上$x_1$倍，根據第一個定義，輸入乘上k倍，輸出也會乘上k倍，代表輸出也會乘上$x_1$倍，同理其它n個也做相同處理
2. 接下來根據第二個定義，將輸入加起來會等於輸出加起來，也就是將n個向量通通加起來，得到的向量就是$x_1+x_2+..+x_n$，輸出也是相同，最終還是可以得而$b_1,b_2,...b_m$

這個範例簡單說明Linear System一定可以寫成System of Linear Equations