# 李宏毅_Linear Algebra Lecture 24: Properties of Determinant
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## Linear Algebra Lecture 24: Properties of Determinant
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### Determinant in High School

上週提到Determinant就是空間中的體積，以2x2、3x3為例說明。二維空間中，我們將兩個row視為空間中的向量，以及其平行的線所形成的平行四邊形，其面積就是$\vert det(A) \vert$，要記得取絕對值，因為有Determinant有正有負。三維空間也是一樣，取出三個row，其所形成的體積就是$det(A)$。

### Three Basic Properties

Determinant有三個性質：
1. identity matrix的Determinant就是1，即$det(I) = 1$
2. 調整row的順序只會改變Determinant的正負號，但不影響絕對值
3. Determinant的每個row都是linear(這邊的linear意義後續說明)

### Three Basic Properties

Property1：identity matrix的Determinant一定為1：
* $I_2$會在空間形成一個正方形，其面積為1
* $I_3$會在空間形成一個正立方體，其體積為1

### Three Basic Properties

Property2：調整row的順序只會改變Determinant的正負號，但不影響絕對值：
* $I_2$，直觀來看，只是調整座標這並不影響面積大小，因此絕對值是不錯有異動，這可以直接套高中公式下去計算
* $I_3$，同理

### Three Basic Properties

從Property2可以推論出，如果有一個matrix-A，其兩個row是一樣的，那它的Determinant $det(A)=0$。這非常直觀，如果在一個二維空間中兩個row是一樣的，而Determinant又代表面積，兩個一樣的row代表是一條線，自然沒有面積，即為0。

另一個角度來看，如果$A$調整兩個row之後變成$A'$，其$det(A)=K$，則$det(A')=-K$，假設我們所調整的兩個row是一樣的，那麼$K=-K$，什麼情況下會成立?只有在$K=0$的情況才會成立。
### Three Basic Properties

Property3：Determinant的每個row都是linear(這邊的linear意義後續說明)：
* 如果$det(A)$中的某個row乘上$t$，其結果等同於將$t$提出乘上整個Determinant，即$t det(A)$

以面積來看，我們將某一個row乘上兩倍，這意味著空間中的平行四邊形的某一邊延長兩倍，面積自然就是2倍。
### Three Basic Properties

延申問題：假設有一個nxn的matrix A，其將A乘上兩倍所得的Determinant會是幾倍?

以剛才的面積來思考，每一個邊都會是兩倍，這意味著會是四倍，如果是nxn，那就是2^n^倍，也就是$det(2A) = 2^ndet(A)$。

### Three Basic Properties

如果有一個row是zero row，其Determinant為0：
* 可以視為將該row乘上0，以剛才所提的特性，即為$0 \cdot det(A)=0$
* 以體積、面積的角度來看，一邊為0，那就是0
* 以cofactor expansion的角度來看，我以該zero row提出計算，結果就直接是0

### Three Basic Properties

linear的另一個特性(3-b)，determinatant可以拆解的特性，這可以從面積的觀點來看。但要注意的是，$det(A) + det(B) \neq det(A+B)$，這就是課程開始所說的，這個linear的特性與我們所知的線性特性是不一樣的。它的linear只有在考慮一個row才成立。

### Three Basic Properties

determinant的linear特性還有一個，將某一個row乘上k倍加到另一個row並不會影響最後結果：
* 根據3-b的特性，將-k提出
* 根據3-a的特性，如果兩個row相同，其determinant為0
* 得證

### Determinants for Upper Triangular Matrix

Upper Triangular Matrix是一種對線線以上有值，以下為零的矩陣，其determinant為：
* 首先，利用elementary row operation的方式消掉對角線以上的所有元素，變為對角線有值的矩陣
* 根據3-a，對角線有值的determinant為對角線的值相乘
* 將對角線的值視為identity matrix乘上$d_1...d_n$，根據3-a特性，計算式變成提出$d_1...d_n$乘上$det(I_n)$，而$det(I_n)=1$，因此得證

### Determinants v.s. Invertible

稍早我們提到三個特性：
1. 將兩個row交換順序，那只會改變determinant的正負號
2. matrix乘上一個scalar，那determinant會乘上k倍
3. 將一個row加給另一個row，這並不會改變determinant

如果一個matrix-$A$為invertible，若且為若其$det(A) \neq 0$，也就是這兩件事情是等價的：
* 將matrix-$A$經過elementary row operation得到$R$
* $det(A)$與$det(R)$的關係，就是看你的elementary row operation做那些操作，根據三個特性就是$det(A)$與$det(R)$的關係
* 你的elementary row operation乘上k倍，那$det(R) = kdet(A)$
* row變更順序兩次，那對正負號就沒有影響，但奇數次就要乘上負號
* 將一個row加給另一個row對determinant沒有影響

因此，我們知道：
1. 假設A是invertible，那代表其R為identity
* $det(R) = 1$，因此$det(A) \neq 0$
2. 假設A並不是invertible，那其R會存在zero row
* $det(R) = 0$，因此$det(A) = 0$
### Invertible

這是之前提過的Invertible的特性，現在又多一個方式確定是否為Invertible，只要確定它的determinant是否為零即可確認。

### Example

這個範例的問題是，什麼樣的c值可以讓這個matrix not invertible。

求解很簡單，只要高中學過的公式，讓det(A) = 0即可。

### More Properties of Determinants

上面是關於determinant的更多特性，可以直接記下來。

### Formula for A^-1^

一般在求A^-1^的過程都是使用RREF，但其實它也可以利用determinant來計算，即$A^{-1} = \dfrac{1}{det(A)}C^T$：
* 因為$A$的inverse是存在的，因此$det(A) \neq 0$
* $C$為$A$這個matrix的cofactors，也因此$C$的dimension與$A$相同
* $C^T$稱為adjugate of A，或簡寫為adj A，伴隨矩陣

簡報下是一個簡單的2x2的範例，可以直接參考，求解過程非常直觀。
### Formula for A^-1^

範例是一個3x3的matrix-$A$求$A^{-1}$，計算$C$的過程中可以先把正負號擺上去，記得一個大原則，也就是正負是交替的。其它的就是依課程所說的計算方式怒算一波。

不過這種計算方式求inverse是非常麻煩的，還是建議使用RREF。
### Formula for A^-1^

這邊主要是證明，可以看一下。對角線的部份是標準的cofactory expansion的定理，所以很好理解，但非對角線的部份為什麼為零?課程上老師的說法是，假設第2個row與第1個row是相同的，那兩個相同的row其所得的determinant為零。但為什麼假設是相同的這部份就沒有再多說了。
### Cramer's Rule

Cramer's Rule：
* $Ax=b$，即$x = A^{-1}b$
* 將$A^{-1}$代入$\dfrac{1}{det(A)}C^T$，即$x=\dfrac{1}{det(A)}C^Tb$
* 將$x$的每一項分別求出來，而每一項的分母都會是$det(A)$，而分子的部份，也就是$C^Tb$，將之視為特別的matrix$B_i$，就是將$A$的第$i$個column換成$b$，再取determinant，就是$C^T$第$i$個row乘上$b$的值

Cramer's Rule實用性較低，這是解system of linear equation的一種方式，但實作上還是使用RREF多，因此聽聽就好。