# 李宏毅_Linear Algebra Lecture 21: Coordinate System
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## Linear Algebra Lecture 21: Coordinate System
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### Outline

Basis可以被以Coordinate System來看待。所謂的Coordinate System就是一種拿來描述vector的觀點，也因此，相同的vector在不同的Coordinate System就會有不同的表示方式。換句話說，不同的vector在不同的Coordinate System是有可能會有相同的表示方式的。

註：Coordinate System可翻譯文座標系
### Vector

以左圖二維向量為例，其實我們是用$e_1, e_2$兩個standard vector來描述這個二維向量。而$e_1, e_2$所組成的coordinate set就是coordinate system，也就是standard vector所組成的座標系，而且我們假設是在直角座標系。

但並不一定要這麼假設，右圖來看，我們使用另外的座標系。要注意的是，不同的座標系統，得到的雖然一樣是8、4，但這時候的座標已經是6、-2。

相同的vector，不同的座標系來說明，就會得到不同的結果。
### Vector

在不同的座標系上，相同的座標不一定會得到相同的vector。也就是左圖直角座標系的2、3並不會等於右邊不同座標系的2、3，因為右邊的2、3最終得到的是4、2.5。

### Coordinate System

並非所有的vector set都可以拿來做為Coordinate System，必需滿足下面兩個條件：
1. vector set必須要可以span R^n^，也就是R^n^內所有向量都可以用這個vector set做linear combination而得
2. vector set必須是independent，如果不是，那相同的vector在這個Coordinate System上就會有不同的representation

而這兩個條件加起來即代表這個vector set就是R^n^的basis，也因此，vector set要拿來做Coordinate System，就必需是R^n^的basis。

### Why Basis?

這邊說明為何vector set是independent，它的representation就會是唯一的：
* 假設有一組vector set $B = \left\{ u_1, u_2, \cdots, u_k \right\}$
* 假設有一組coefficient，$a_1, a_2, \cdots, a_k$，inear combination得到$v$
* 假設有另一組coefficient，$b_1, b_2, \cdots, b_k$，linear combination之後也會得到$v$
* 兩個linear combination之後的$v$相減可以得到$(a_1 - b_1)u_1 + (a_2 - b_2)u_2 + \cdots (a_k - b_k)u_k = 0$
* 根據independent的定義，如果independent的vector set要做linear combination之後產生zero vector，就只有一個可能，那就是coefficient皆為0，也因此$a_1 - b_1 = a_2 - b_2 = cdots = a_k - b_k = 0$

### Coordinate System

假設有一個$R^n$ subspace的basis-$B = \left\{ u_1, u_2, \cdots, u_n \right\}$，因為subspace是$R^n$，因此其basis的數目一定是$n$，因此其成員為$B = \left\{ u_1, u_2, \cdots, u_n \right\}$。

將basis拿來做為Coordinate System使用，這意味著，隨便一個$R^n$空間中的vector-$v$，找出一組coefficient，用這個coefficient對$\left\{ u_1, u_2, \cdots, u_n \right\}$做linear combination會得到$v$，接著將所用的coefficient-$\left\{ c_1, c_2, \cdots, c_n \right\}$拿出來，這個vector就是在$B$這個Coordinate System下，看$v$的representation，也就是$B$-corrdinate vector of v。

簡單說就是，你有一個coordinate system-$B$，將它裡面的成員做linear combination之後得到$v$，執行這個linear combination的coefficient，就是$v$在$B$下的representation，寫為$\left[ v \right]B$，代表在$B$這個coordinate system下看$v$的樣子。

### Coordinate System

$\left[ v \right]B$
* $v$是一個vector，由standard vectors所形成的Coordinate System，也就是在直角座標系下看到的$v$，因為在沒有指定座標系之前根本無法描述，因此會假設為直角座標系
* $\left[ v \right]B$，$v$依然為一個vector，只是這時候是在$B$這個座標系所描述的新的vector

直角坐標系，又稱笛卡爾坐標系
### Other System -> Cartesian

上面是兩個案例說明，同一個vector在不同的coordinate system上不同的representation

### Other System -> Cartesian

一般來說，我們有一個coordinate system-$B$，它是由一堆vector所組成，將這些vector視為某一個matrix的column，以matrix的方式來表示。

在給定$\left[ v \right]B$的情況下，如果想還原為直接座標系上表示的$v$，就只需要計算$c_1u_1 + c_2u_2 + \cdots + c_nu_n$，也就是Matrix-B乘上$\left[ v \right]B$
### Cartesian -> Other System

這是一個將一個vector放置於其它的coordinate system上的範例。

假設你有一個直角座標系的vector-$v$，另外有一個coordinate system-$B$，該如何找出$\left[ v \right]_B$，也就是找出$B$跟一組coefficient做內積之後得到$v$的那組coefficient。因為上一小節提到，還原直接座標系的方法就是計算$c_1u_1 + c_2u_2 + \cdots + c_nu_n$，也就是B$\left[ v \right]_B=v$

B$\left[ v \right]_B=v$的兩邊同乘B^-1^，即$\left[ v \right]_B=$B^-1^$v$。B是一個independent的vector set，因此它永遠都會是可逆的。
### Cartesian -> Other System

這邊總結說明，假設有一個coordinate system-$B = \left\{ b_1, b_2, \cdots, b_n \right\}$，相同的一個vector，在直角座標系上是$v$，在$B$這個座標系上是$\left[ v\right]_B$：
* 要從$v$轉到$\left[ v\right]_B$就乘上B^-1^
* 要從$\left[ v\right]_B$轉到$v$就乘上B

簡報最下面說著，假設有一個coordinate system-$B = \left\{ b_1, b_2, \cdots, b_n \right\}$，其中的某一個成員$b_i$，它在這個coordinate system下看起來會是$e_i$，也就是$B$這個座標系的成員在自己這個座標系上看起來都會是standard vector。
### Equation of ellipse

案例說明橢圓由直角座標轉至另一個座標系該如何表示。

### Equation of ellipse

把你的頭歪一邊來看這個橢圓，它就變正的。我們可以定義一個新的座標系-$B$。

原本的直角座標系中，我們的向量是$v$，有著$x, y$兩個元素，而相同的向量在$\left[ v \right]_B$中，變成$x', y'$。

因此橢圓在新的座標系的方程式變成$\dfrac{{x'}^2}{3^2} + \dfrac{(y')^2}{2^2} = 1$，現在只要知道$x', y'$與$x, y$之間的關係就可以計算出來。
### Equation of ellipse

剛才已經知道，要從$v$轉到$\left[ v\right]_B$就乘上B^-1^，因此$\left[ v \right]_B = B^{-1}v$，因此可以知道，$x, y$乘上$B^{-1}$就可以得到$x', y'$，得到$x', y'$就可以得到斜橢圓的方程式。

### Equation of hyperbola

假設有一個雙曲線，其方程式為$-\sqrt{3}x^2 + 2xy + \sqrt{3}y^2 = 12$，請說明這雙曲線在$x', y'$的表示。假設，指示$x'$的紅色箭頭與x中間的夾角為30度。

### Equation of hyperbola

首先，寫下我們的coordinate system寫下來(不一定要長度一樣，也不一定要互相垂直，只要是independent就可以)。

我們知道，$v = B\left[v\right]_B$，寫下來之後就可以知道$x, y$與$x', y'$之間的關係。

### Equation of hyperbola

取代掉$x, y$，計算之後就可以得到$x'y'=3$