# 李宏毅_Linear Algebra Lecture 9: Solving System of Linear Equations (part 2)
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## Linear Algebra Lecture 9: Solving System of Linear Equations (part 2)
[課程連結](https://www.youtube.com/watch?v=YzAg9l9FO7Y&list=PLJV_el3uVTsNmr39gwbyV-0KjULUsN7fW&index=9)
### Example 1

因為現在計算皆是利用程式來處理，因此不多說明手算步驟，僅以一個範例說明：
1. 首先，將A、b列出，寫出Augmented Matrix
2. 通常固定第一個row，消去下面幾個row讓第一個row以外的第一個column的值為0
* 很巧合的其它column也為0
3. 將row做交換，按序排
4. 再消掉最後一個row的第三個column
5. 再消掉最後一個row的第四個column
* 很巧合的，最後一個row皆為0
7. 將leading entry變為1
8. 將第三個row乘上-2加給第一、第二個row
9. 得到Reduced Row Echelon Form
10. 確認是否滿足Reduced Row Echelon Form的規則
* 所有的non-zero的row都在zero row的上方
* 所有row的leading entries拿出來(即由左至右第一個不為零的元素)排成echelon form
* leading entry所在的column必須為standard vectors(leading entry以外的值為0)
11. 轉回system of linear equation
12. 將leading entry對應的元素放左邊，其餘丟到右邊，其餘沒有定義的皆為free variable
13. 將所有的variable以parameter的表示寫出來
* free的variable就等於自己
14. 提出相同的variable
* $x_2, x_5$
15. 寫出其它的常數項
16. 得到解
### Example 1

不一定要以leading entry對應元素放左邊的模式來操作，也可以隨你高興的處理，範例以$x_2$放左邊，那$x_1$即變為free variable，那就可以得到另一個表示方式，但其實它們是同一個解(見紅字範例)。
### Example 2

這個範例雖然看起來有點複雜，但其實可以分兩個區塊，$R$、$2R$。這麼做的好處在於可以一次整個批次操作處理，因此我們可以直接將$R$乘上$-2$加到下面的$2R$，就結束了，因為剩下的已經符合Reduced Row Echelon Form的三個特性。
### Example 3

這個範例說明，並不需要一定要將整個區塊展開，而是可以直接以區塊來處理Reduced Row Echelon Form。展開的話就是一個8x8的矩陣，以$R$計算的話只是一個單純的2x2的矩陣，這差異很大。

首先，將第一個row乘上$-1$加到第二個row，再將第二個row乘上$-\dfrac{2}{3}$加到第一個row，最後只要再將第二個row乘上$-\dfrac{1}{3}$，再把$R$帶入式子，這樣就可以簡化了。

不過要注意，執行之後還不是一個Reduced Row Echelon Form，只要再執行一下row exchange就可以滿足了。
### Checking Independence

現在就可以開始執行確認vector set為dependent或是independent。

回顧定義，如果有一個vector set是linear dependent，那代表其中一個vector是其它vector的linear combination，它是多餘的，這意味著這個vector set為dependent。或者，如果你找的到一組scalar-$x$，它們不全為零，並且它與vector set做linear combination之後為0，那它即為dependent。

### Checking Independence

將vector set組合在一起視為matrix-$A$，係數部份視為$x$，直接來求解：
1. 首先列出Augmented Matrix
2. 執行Reduced Row Echelon Form
### Checking Independence

將Reduced Row Echelon Form還原為system of linear equation來怒解一發。最終找到一組非零解，因此為independent。