# 李宏毅_Linear Algebra Lecture 18: Subspace
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## Linear Algebra Lecture 18: Subspace
[課程連結](https://www.youtube.com/watch?v=pXtXnY2b2-E&list=PLJV_el3uVTsNmr39gwbyV-0KjULUsN7fW&index=18)

### In Chapter 4...

課程主要說明，相同的vector或operation(matrix)，如果從不同的觀點來看待，那它們就是不同的。

### Subspace

有一些vector set可以稱為subspace，但並非所有的vector set都可以，必需滿足下面三個條件：
1. 這個vector set一定包含zero vector，這個條件主要確保這個vector set不是空集合
2. 從這個vector set中任意sample出兩個vector，u、w兩個vector，而且這兩個vector相加的vector必定存在vector set中
3. 假設vector u存在vector set中，乘上任意的scalar-c之後的cu也會存在vector set中

### Examples

上面一個驗證是否為subspace的範例。
### Examples

上面一個驗證是否為subspace的範例。

1. $V=\left\{cw \vert c \in R \right\}$：$c$是一個任意實數，乘上$w$，集合起來得到$V$

2. $S_1$的條件是一個第一象限範圍的集合，但是無法滿足第三個條件，乘上任意實數仍然存在vector set中，因為如果這個數值是個負數，那它就出現在其它地方，因此這並不是一個subspace

3. $S_2$的條件就是在二維平面上打一個大叉，只要落在線上的就是它們的component。但這並不能滿足第二個條件，也就是取任意兩個vector相加並不能仍然存在vector set中。

4. $R^n$，這確實是一個subspace

5. zero vector，這確實是一個subspace，就算它只有一個element，這稱之為zero subspace

### Subspace v.s. Span

Span是將一個vector set，做了span這個operation之後所得到的更大的vector set，而這個由span所產出出來的vector set一定是subspace，反過來說，每一個subspace都可以視為是由某一個vector set做span而成。
### Null Space

Null Space，如果有一個matrix-A，其homogeneous equation Ax=0所構成的集合，就稱為Null A：
$A = \left\{v \in R^n : Av=0 \right\}$
，也就是vector set-$v$裡面的任一vector與$A$相乘都會得到zero vector。而這個Null A也必然是一個subspace。

### Column Space and Row Space

Column Space，將matrix A的columns都做span。這稱為Col A：
$A \in R^{mxn} \Rightarrow Col \space A=\left\{ Av : v \in R^n \right\}$
* $\in R^{mxn}$，$A$是一個mxn的matrix
* $Col \space A=\left\{ Av : v \in R^n \right\}$，窮舉所有n維的vector與matrix-A相乘，也就是拿所有各種不同的component來與matrix-A做linear combination得到的向量集合就是A的column space
* 將matrix-A視為一個function，那matrix-A的column space就是這個function的range，也就是這個function的所有可能的輸出集合

Row Space，Row A，也就是將matrix-A的所有的row做linear combination，或是做span，就是matrix-A的row space：
Row $A$ = Col $A^T$
### Column Space = Range

Column space就是一個function的range，這是稍早提到的觀念。假設現在一個function-T，它是linear function，其input為4維vector，output為3維vector。

每一個function的背後都對應一個matrix-A，而我們從這function的output就可以知道這個matrix-A的樣貌。而這個function，也就是linear transformation的所有可能的輸出所構成的集合，就會是其背後所對應到的matrix-A的column的linear combination。將matrix-A的column拿出來做span所得到的結果就是function-T的range。
### RREF

先前課程提過matrix-A與其RREF-R之間有一些特殊的關係：
* columns:
* A與R之間的column的關係永遠都是固定
* A、R的column的span是不一樣的
* rows:
* A、R之間的row的關係是會改變的
* A、R的row的span是一樣的
### Consistent

先前提過：
1. Ax=b有解稱為consistent
* 這代表b是A的columns的linear combination
* 這代表b是落在A的columns的span裡面
* 這代表b是落在A的columns space裡面