# 二維自動化光學檢測及應用_陳金聖_影像處理基礎複習(下)_影像頻率濾波
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## 影像中頻率的概念

在一張照片中，它的條紋分佈變化比較大的區域，我們就稱之為高頻，上圖為例，像是褲子、椅子之類的就屬高頻區。如果是像地板這種平滑區的話，就屬低頻成分。

## 二維傅立葉轉換 - 數學式

上面給出二維傅立葉轉換與反傅立葉轉換的數學式。

## 二維傅立葉轉換 - 平移性質

二維傅立葉轉換有著平移的性質，也就是在空間中乘上一個相位之後在空間平面有個位移。

## 二維傅立葉轉換 - 平移性質

上圖左是原始照片，利用傅立葉轉換之後會變成中間的圖，可以發現到它的低頻區是落在四個角落，這對我們觀察頻率是不方便的，因此我們可以利用剛剛所說的平移特性來調整成最右邊的狀態，將低頻的成份通通移到影像的中間。

## 影像頻率域濾波濾 - 頻率域濾波基礎

上面給出一個頻率濾波的流程圖，一個輸入影像經過前處理之後再做傅立葉轉換，經過傅立葉轉換之後有個重點，就是我們要怎麼對它做處理，然後再經過反傅立葉轉回做後處理，最終才會是我們想要的結果。

## 影像頻率域濾波濾 - 頻率域濾波基礎

上面給出一個範例。輸入照片經過剛剛所說的流程處理之後得到最終的結果。

## 影像頻率域濾波濾 - 頻率域濾波基礎

頻率域濾波主要分為兩類，低通濾波與高通濾波。前者主要目的是將影像平滑，後者則是增強影像細節。

## 影像頻率域濾波濾 - 理想低通濾波器

通常我們的設計會是這樣，從圓點弄一個半徑為$D_0$的圓，圓內的訊號給過，圓外的就截斷。
## 影像頻率域濾波濾 - 理想低通濾波器

這是一個理想低通濾波的範例，設置一個$D_0=60$的圓來截斷轉換後的傅立葉訊號，最終的結果照片可以看的出有產生一些振鈴的現象。
## 影像頻率域濾波濾 - 理想低通濾波器

這邊給出的是不同的$D_0$所產生的不同結果。可以看的出來因為$D_0=30$的時候因為頻率較低，因此照片明顯模糊。而$D_0=160$則是因為大部份的頻率都通過，因此沒有像$D_0=60$的時候所產生的振鈴現象。
## 影像頻率域濾波濾 - 巴特沃斯低通濾波器

與理想低通不同的地方在於多個$n$階的設置。
## 影像頻率域濾波濾 - 巴特沃斯低通濾波器

這邊給出一個巴特沃斯低通濾波的範例。設置$D_0=100, n=1$。結果來看並沒有產生振鈴的現象。這是巴特沃斯低通濾波的特性，只要$n<=2$的情況下就不會產生振鈴現象。

## 影像頻率域濾波濾 - 巴特沃斯低通濾波器

上面給出$n=2$搭配不同$D_0$所產生的結果。如上所述，我們確實沒有看到任何的振鈴現象。

## 影像頻率域濾波濾 - 高斯低通濾波器

這是高斯低通濾波器，因為它是高斯的指數函數，因此並不會產生振鈴的現象，也就是它所產生的值都不會小於0。並且通常變異數會代表截斷頻率，也就是$\sigma=D_0$。

## 影像頻率域濾波濾 - 高斯低通濾波器

一樣的給出一個範例。很明顯的沒有任何振鈴現象。
## 影像頻率域濾波濾 - 高斯低通濾波器

上面給出不同$D_0$，也就是不同變異數濾波之後的結果。一樣是沒有任何的振鈴現象。

## 影像頻率域濾波濾 - 理想高通濾波器

範圍內的高頻訊號都可以通過，以外的信號通通會被截止。因此它的數學式跟理想低通是相反的 。
## 影像頻率域濾波濾 - 理想高通濾波器

上面給出一個範例。白色區域表示可以通過的高頻區。結果來看跟低通一樣會產生些許的振鈴現象。
## 影像頻率域濾波濾 - 理想高通濾波器

這邊針對三種不同的截斷頻率來做比較。到$D_0=160$的時候，其銳利化會比較強一點。
## 影像頻率域濾波濾 - 巴特沃斯高通濾波器

基本上跟低通是一樣的，不同的是低頻濾除，保留高頻，並且參數$n$主要調整衰減幅度的程度。

## 影像頻率域濾波濾 - 巴特沃斯高通濾波器

如稍早所述，$n<=2$的時候是不會產生振鈴現象的。

## 影像頻率域濾波濾 - 巴特沃斯高通濾波器

如理想高通濾波的效果，不過$n=2$是不會產生振鈴現象。
## 影像頻率域濾波濾 - 高斯高通濾波器

跟低通一樣，差別在於濾除低頻，保留高頻。

## 影像頻率域濾波濾 - 高斯高通濾波器

效果跟巴特沃斯一樣，不會有振鈴現象。
## 影像頻率域濾波濾 - 高斯高通濾波器

三種參數設置的比較。