# 李宏毅_Linear Algebra Lecture 23: Formulas of Determinant
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## Algebra Lecture 23: Formulas of Determinant
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Determinant，行列式，這是高中學過的觀念。
### Determinant

給定一個matrix得到所對應的scalar(數值)，這個數值這就是Determinant。在這邊我們只考慮到方形的矩陣(square matrix)。當Determinant不為0，那這個matrix就是Invertibility。
### Determinant in High School

以2x2的矩陣為例，高中時候所學的求解方式，就是$det(A)=ad-bc$。而在3x3的矩陣，也是類似的作法。

但相同的作法並無法推廣到更高維度的矩陣上。
### Cofactor Expansion

Determinant的計算方式稱為Cofactor Expansion。

符號約定：
* 假設matrix-A是一個nxn的矩陣，而A~ij~代表將這個matrix的第i個row、第j個column拿掉所得的新的matrix
* A~ij~是一個(n-1)x(n-1)的矩陣

### Cofactor Expansion

計算方式如下：
* 假設matrix-A是一個nxn的矩陣
* 取出A的第一個row乘上cofactor(下面說明)，第一個row裡面的每一個element都對應到一個cofactor，相加之後所得即為$detA$

這種計算方式並不限定於取第一個row，其它row也行，或者column也可以，結果都是一樣的。

其中cofactor為$c_{ij}=(-1)^{i+j}detA_{ij}$，如果$detA{ij}$的維度還是大於3，那就相同的作法再往下一直拆解，直到可以計算。
### 2 x 2 matrix

以2x2的矩陣為例：
* 首先確認1x1，即det(\[a\])=a，就是自己
* 挑出第一個row，$det(A)=ac_{11} + bc_{12}$
* $c_{11}=(-1)^{1+1}detA_{ij}$，其中$detA_{ij}$就是$A$拿掉第一個row、第一個column，也就是$d$，因此$c_{11}=(-1)^{1+1}det([d])$，而$det([d])$就是$d$，因此$c_{11}=d$
* 相同作法可得$c_{12}=-c$
* 最終得到$det(A)=ad-bc$

### 3x3 matrix

以3x3的矩陣為例：
* 隨便挑選一個row，這邊選擇row2
* $detA = a_{21}c_{21} + a_{22}c_{22} + a_{23}c_{23}$
* 分別求出$c_{21}, c_{22}, c_{23}$
* 得解
### Example

相同的方法可以推廣至更高維度的矩陣，假設這是一個999x999的矩陣，並且為tridigonal matrix：

註：tridigonal matrix，除了對角線有值以外，對角線的左右兩排也都會有值，其餘為0

### Example

一樣的，我們可以利用cofactor expansion來求解：
* 首先，$A_2，A_3$都可以直接求解
* 以cofactor expansion列出$A_4$的式子，$detA_4 = a_{11}c_{11} + a_{12}c{12} + a_{13}c_{13} + a_{14}c_{14}$，其中$a_{13}c_{13} + a_{14}c_{14}$皆為0，因此可以忽略，在tridigonal matrix的特性之下，不管矩陣有多大，你取第一個row的時候就只需要考慮前兩項
* $c_{11} = (-1)^{1+1}detA_{11} = det(A_3)$，這給我們得到一個結論，$c_11=det(A_{n-1})$
* $c_{12} = (-1)^{1+2} det_A{12}$
* 將$det_A{12}$再做cofactor expansion
* 這邊可以直觀看的出來，$c_{13}=0$，而$c_{12}$可以看的到，它的第1個column皆為0，這種情況之下所得的determinant會是0，而$c_{11}=det(A_2)$，因此得到$c_{12} = -det(A_2)$

### Example

一番推算之後我們可以得到一個結論：
* $det(A_4)=det(A_3) - det(A_2)$
* $det(A_n)=det(A_{n-1}) - det(A_{n-2})$

因此我們一個一個代入之後就可以一個$det(A_1)~det(A_6)$之類的結果循環，$det(A_7), det(A_8)$開始又是像$det(A_1)~det(A_6)$，以此類推，自然就可以得到tridigonal matrix的nxn的determinant的結果

### Properties of Determinants

Determinant可以視為高維空間中的超立方體的體積。